Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences... Série A et B : sciences mathématiques. Sciences physiques / Académie des sciences ; [dir. publ. Guy de Dampierre]
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)
Date d'édition : 1975-06-01
Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34484666t
Type : texte texte
Type : publication en série imprimée publication en série imprimée
Langue : français
Format : Nombre total de vues : 38175 Nombre total de vues : 38175
Description : 01 juin 1975 01 juin 1975
Description : 1975/06/01 (SERA,T280,PART3)-1975/06/30. 1975/06/01 (SERA,T280,PART3)-1975/06/30.
Droits : Consultable en ligne
Identifiant : ark:/12148/bpt6k62167964
Source : Bibliothèque nationale de France, département Collections numérisées, 2008-226741
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 31/12/2012
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- TABLES DU TOME 280
- I. - PARTIE SCIENTIFIQUE
- MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES
- MÉCANIQUE
- MÉCANIQUE CÉLESTE
- PHYSIQUE MATHÉMATIQUE
- II. - AUTEURS
- A
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- B
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- C
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- D
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- E
- F
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- G
- H
- I
- .......... Page(s) .......... 1621
- J
- K
- L
- .......... Page(s) .......... 1567
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- .......... Page(s) .......... 1177
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- .......... Page(s) .......... 1137
- LOBO HIDALGO (Miguel). - Sur le caractère bien posé et la stabilité des sillages en amont et en aval.......... Page(s) .......... 1555
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- M
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- N
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- P
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- Q
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- R
- S
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- T
- V
- W
- .......... Page(s) .......... 1595
- Z
C. R. Acad. Se. Paris, t. 280 (2 juin 1975) Série A — 1417
NOTES DES MEMBRES ET CORRESPONDANTS
ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS
THÉORIE DES GROUPES. — Sur certains sous-groupes. maximaux des groupes
symétriques ou alternés. Note (*) de M. Emmanuel Halberstadt, présentée par
M. Henri Cartan.
La présente Note fournit la solution d'un problème posé dans (3) et dont certains cas particuliers
ont été traités dans (2).
1. Soient m un entier 2, E un ensemble fini de cardinal n m + 2, n étant distinct
de 2 m; soit P l'ensemble des parties de E ayant m éléments.
Le groupe symétrique <3 (E) de E opère de manière naturelle (et fidèle) sur P, ce qui
permet de le considérer comme un sous-groupe du groupe symétrique S (P) [6 (E) est
un sous-groupe du groupe alterné U (P) si et seulement si C~J~ est pair]. En outre S (E)
est un groupe de permutations uniprimitif (i. e. primitif mais pas deux fois transitif) de P.
Kaloujnine et Klin se sont intéressés dans (3) aux sous-groupes intermédiaires entre
6 (E) et S (P) qui sont non triviaux [i. e, distincts de S (E), S (P) et U (P)]. Ils ont
démontré le résultat suivant :
THÉORÈME 1. — S (E) est un sous-groupe maximal de (3 (P) [resp. U (P) si CJJTJ est pair]
dès que n > d (m), d(m) ne dépendant que de m.
Dès lors se trouvait posé le problème de déterminer tous les cas exceptionnels,
i. e. d'indiquer les couples (m, n) pour lesquels S (E) n'est pas maximal dans S (P)
[resp. U (P)] et, pour chacun de ces couples, de dresser la liste des sous-groupes inter-
médiaires non triviaux entre S (E) et S (P).
Afin de pouvoir énoncer plus commodément le résultat que nous avons obtenu, nous
commencerons par une remarque.
Soient m' = n — m et P' l'ensemble des parties de E ayant m' éléments. La bijection
de P sur P' qui à X G P associe E — X (complémentaire de X dans E) est compatible avec
les actions de <5 (E) sur P et P' respectivement. Il en résulte que dans l'étude des sous-
groupes intermédiaires entre S (E) et <5 (P) on peut toujours supposer n > 2 m.
Cela étant, le résultat annoncé est le suivant :
THÉORÈME 2. — (a) Si m 2 et n 2 m + 2, S (E) est un sous-groupe maximal de (3 (P)
[resp. U (P) si C~J~ C~pa~ ], sauf pour les valeurs suivantes du couple (m, n) : (2,6), (2,8),
(3,10) et (4,12).
(b) Si m 3 et n = 2 m+ 1, il y a entre S (E) et <3 (P) un seul sous-groupe intermédiaire
non trivial, qui est isomorphe au groupe symétrique ~S2m+2-
(c) Si m = 2 et n =5, il y a entre S (E) et 6 (P) deux sous-groupes intermédiaires
non triviaux isomorphes aux groupes Aut ~(<36) et 66 respectivement.
NOTES DES MEMBRES ET CORRESPONDANTS
ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS
THÉORIE DES GROUPES. — Sur certains sous-groupes. maximaux des groupes
symétriques ou alternés. Note (*) de M. Emmanuel Halberstadt, présentée par
M. Henri Cartan.
La présente Note fournit la solution d'un problème posé dans (3) et dont certains cas particuliers
ont été traités dans (2).
1. Soient m un entier 2, E un ensemble fini de cardinal n m + 2, n étant distinct
de 2 m; soit P l'ensemble des parties de E ayant m éléments.
Le groupe symétrique <3 (E) de E opère de manière naturelle (et fidèle) sur P, ce qui
permet de le considérer comme un sous-groupe du groupe symétrique S (P) [6 (E) est
un sous-groupe du groupe alterné U (P) si et seulement si C~J~ est pair]. En outre S (E)
est un groupe de permutations uniprimitif (i. e. primitif mais pas deux fois transitif) de P.
Kaloujnine et Klin se sont intéressés dans (3) aux sous-groupes intermédiaires entre
6 (E) et S (P) qui sont non triviaux [i. e, distincts de S (E), S (P) et U (P)]. Ils ont
démontré le résultat suivant :
THÉORÈME 1. — S (E) est un sous-groupe maximal de (3 (P) [resp. U (P) si CJJTJ est pair]
dès que n > d (m), d(m) ne dépendant que de m.
Dès lors se trouvait posé le problème de déterminer tous les cas exceptionnels,
i. e. d'indiquer les couples (m, n) pour lesquels S (E) n'est pas maximal dans S (P)
[resp. U (P)] et, pour chacun de ces couples, de dresser la liste des sous-groupes inter-
médiaires non triviaux entre S (E) et S (P).
Afin de pouvoir énoncer plus commodément le résultat que nous avons obtenu, nous
commencerons par une remarque.
Soient m' = n — m et P' l'ensemble des parties de E ayant m' éléments. La bijection
de P sur P' qui à X G P associe E — X (complémentaire de X dans E) est compatible avec
les actions de <5 (E) sur P et P' respectivement. Il en résulte que dans l'étude des sous-
groupes intermédiaires entre S (E) et <5 (P) on peut toujours supposer n > 2 m.
Cela étant, le résultat annoncé est le suivant :
THÉORÈME 2. — (a) Si m 2 et n 2 m + 2, S (E) est un sous-groupe maximal de (3 (P)
[resp. U (P) si C~J~ C~pa~ ], sauf pour les valeurs suivantes du couple (m, n) : (2,6), (2,8),
(3,10) et (4,12).
(b) Si m 3 et n = 2 m+ 1, il y a entre S (E) et <3 (P) un seul sous-groupe intermédiaire
non trivial, qui est isomorphe au groupe symétrique ~S2m+2-
(c) Si m = 2 et n =5, il y a entre S (E) et 6 (P) deux sous-groupes intermédiaires
non triviaux isomorphes aux groupes Aut ~(<36) et 66 respectivement.
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