Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences... Série A et B : sciences mathématiques. Sciences physiques / Académie des sciences ; [dir. publ. Guy de Dampierre]
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Source : Bibliothèque nationale de France, département Collections numérisées, 2008-226741
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 31/12/2012
C. R. Acad. Sc. Paris, t. 280 (5 mai 1975) Série A — 1085
NOTES DES MEMBRES ET CORRESPONDANTS ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS
THÉORIE DES NOMBRES. — Fonction 0-ordre et classification de CP.
Note (*) de M. Alain Durand, présentée par M. Henri Cartan.
A tout p-uple θ1, , 8p de nombres complexes est associée une fonction 0 (N, u θ1,. ,θp) qui étend à CP la fonction ordre d'un nombre complexe introduite par Mahler (2) dans le cas p = 1. L'étude de cette fonction 0 conduit à des résultats généralisant ceux obtenus par Mahler.
1. RAPPELS ET DÉFINITIONS. — 1.1. Étant donné un polynôme non nul P ∈ C [X1,., Xp], de degré ni par rapport à Xi (/ = 1, ., p),
et
On pose en outre
∧ (P) = 2ϑ (P) L(P).
Par récurrence sur p 1, on vérifie que si P, Q sont des polynômes de C [Xl, ., Xp], alors : L(P + Q) ≦ L(P) + L(Q) et L(P.Q) ≦ L(P).L(Q).
1.2. Etant donné un nombre complexe 0, Mahler e) définit pour tout entier u 1 :
la borne supérieure étant prise sur l'ensemble fini des polynômes P 0 à coefficients entiers rationnels et tels que ∧ (P) ≦ u, P(θ) ≠ 0.
En vue de certaines applications, il semble préférable d'affiner cette définition en consi- dérant, pour tout entier p ≧ 1 et tout p-uple complexe (θ1,., θp), la fonction O (N, u 1 81, ., 0p) des variables entières N 0 et M 1 définie par
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