Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences... Série A et B : sciences mathématiques. Sciences physiques / Académie des sciences ; [dir. publ. Guy de Dampierre]
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Source : Bibliothèque nationale de France, département Collections numérisées, 2008-226741
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 31/12/2012
C. R. Acad. Sc. Paris, t. 280 (26 mai 1975) Série A — 1353
THÉORIE DES GROUPES. - Groupes p-divisibles sur les vecteurs de Witt.
Note (*) de M. Jean-Marc Fontaine, transmise par M. Jean-Pierre Serre.
Soit A l'anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans un corps parfait k de caractéristique p * 0.
A tout groupe p-divisible G sur A on associe un sous-A-module L du module de Dieudonné M de la réduction de G modulo p. L'étude des groupes p-divisibles sur A est ramenée à celle des couples du type (L, M).
Soit K le corps des fractions de l'anneau A = W(k) introduit ci-dessus et soit a l'auto- morphisme de Frobenius opérant sur k, A et K [on a g (a) = aP si a E k].
1. CLASSIFICATION DES GROUPES DE LIE FORMELS SUR A. — Soit r un groupe de Lie formel commutatif à d paramètres sur A. Rappelons que c'est un d-uple de séries formelles, sans termes constants, en les 2 d variables X = (Xl, X2, ., Xd), Y = (Yl5 Y2, ., Yd), vérifiant, avec des notations évidentes :
Soit .A'.1f(r) l'ensemble des séries ϕ (X) ɛ K [[X]] telles que ∂ϕ/∂Xi ɛ A [[X]], pour i = 1, 2, d, et (p (r (X, Y)) - ϕ (X)-(p (Y) c- p A [[X, Y]].
Soit A [[F]] l'anneau des séries formelles non commutatives en une variable F, à coeffi- cients dans A, avec F X = a (À) F, pour tout À dans A.
Pour tout (p e Jiffî (r), notons F cp la série formelle obtenue en remplaçant chaque coefficient À de (p par c (À) et chaque X, par Xf. Il existe sur ℳℋ (Γ) une structure de A [[F]]-module à gauche topologique unique compatible avec l'action naturelle de A et l'action de F qui vient d'être définie. On sait e) que le A [[F]]-module à gauche MH(Γ) = ℳℋ(Γ)/pA [[X]] s'identifie au module de Dieudonné de la réduction de T modulo p.
Soit ,;e.1f (r) le « module des logarithmes » de r, c'est-à-dire l'ensemble des (p e K [[X]] vérifiant ∂ϕ/∂ϕi e A [[X]], pour i = 1, 2, ., d, et (p (r (X, Y» = cp (X) + cp (Y). C'est un sous-A-module de JtJFÇT) et nous notons LH (r) son image dans MH(F).
THÉORÈME 1. - Posons L = LH(F) et M = MH(F).
(i) L'action de F sur M est injective.
(ii) On a p Me FM et M/FM est un espace vectoriel de dimension finie sur k.
(iii) On a FM n L = pL et LlpL = M/FM.
Les deux premières assertions sont des propriétés bien connues du module de Dieudonné d'un groupe de Lie formel commutatif sur k; la troisième se déduit du fait que tout groupe de Lie formel commutatif sur K est isomorphe à un produit de copies du groupe formel additif.
Appelons système de Honda la donnée d'un couple (L, M), où M est un A [[F]]-module à gauche et L un sous-A-module de M, vérifiant les conditions (i), (ii) et (iii) du théorème 1.
Les systèmes de Honda forment une catégorie additive si l'on définit un morphisme il : (L, M) - (L', M') comme étant une application A [[F]]-linéaire de M dans M'
C. R., 1975, 1" Semestre. (T. 280, N° 20) Série A — 92
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