Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences... Série A et B : sciences mathématiques. Sciences physiques / Académie des sciences ; [dir. publ. Guy de Dampierre]
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Source : Bibliothèque nationale de France, département Collections numérisées, 2008-226741
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 31/12/2012
C. R. Acad. Se. Paris, t. 280 (21 mai 1975) Série A — 1273
THÉORIE DES GROUPES. - Sur la construction du module de Dieudonné d'un groupe formel Note (*) de M. Jean-Marc Fontaine, transmise par M. Jean-Pierre Serre.
On montre comment le module de Dieudonné d'un groupe formel commutatif sur un corps k parfait de caractéristique p # 0 peut se construire à l'aide de « covecteurs de Witt ». Dans le cas d'un groupe lisse, ce module s'interprète en terme de « presque-logarithmes ».
On fixe un nombre premier p et on note
les polynômes (à coefficients entiers rationnels) qui définissent l'addition dans les vecteurs de Witt C1).
1. COVECTEURS DE WITT. — Nous nous proposons de construire un foncteur covariant de la catégorie des anneaux artiniens (commutatifs) dans celle des groupes abéliens, le foncteur en groupes CW des covecteurs de Witt.
Pour tout anneau artinien R, de radical rR, CW (R) est l'ensemble des
a = (., a-n,., a-1, ao) = (a-n)n∈N avec a_„ E R et, pour presque tout n, a_„ e rR.
La somme de deux éléments a = (..a-n, , a- 1, ao) et b = (., b_n b- 1, bo) de CW(R) est l'élément c = (., c-,,, ., co) défini par
expression qui a un sens car cette suite est stationnaire.
On a ainsi une structure de groupe abélien sur CW (R). Enfin, si f : R ---> S est un homomorphisme d'anneaux artiniens, l'homomorphisme CW(/) : CW(R) --+ CW(S) est l'application (., a-n, ., a-1, ao)~(.,f(a-n), ..,f(a-1),f(a0)).
2. LE MODULE DE DIEUDONNÉ D'UN p-GROUPE FINI. — Soit k un corps parfait de carac- téristique p. Par restriction, CW définit un foncteur covariant CWk de la catégorie des k-algèbres (associatives, commutatives et unitaires) de dimension finie sur k dans celle des groupes abéliens; c'est un k-groupe formel commutatif, au sens de (2).
Soit W (k) l'anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans k et soit CT l'automorphisme de Frobenius sur k et sur W (k) [on a a (a) = aP si a e k]. Soit Dk l'anneau de Dieudonné de k, c'est-à-dire l'anneau non commutatif engendré par W(A:) et deux éléments F et V
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