Presse et revues
346 pages
Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences... Série A et B : sciences mathématiques. Sciences physiques / Académie des sciences ; [dir. publ. Guy de Dampierre]
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)
Date d'édition : 1975-05-01
Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34484666t
Type : texte texte
Type : publication en série imprimée publication en série imprimée
Langue : français
Format : Nombre total de vues : 38175 Nombre total de vues : 38175
Description : 01 mai 1975 01 mai 1975
Description : 1975/05/01 (SERA,T280,PART3)-1975/05/31. 1975/05/01 (SERA,T280,PART3)-1975/05/31.
Droits : Consultable en ligne
Identifiant : ark:/12148/bpt6k6216795q
Source : Bibliothèque nationale de France, département Collections numérisées, 2008-226741
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 31/12/2012
C. R. Acad. Sc. Paris, t. 280 (5 mai 1975) Série A — 1097
THÉORIE DES GROUPES. — Une nouvelle approche à la théorie des groupes abéliens
p-primaires : esquisse des démonstrations des théorèmes de prolongement des isomor-
phismes et d'isomorphie. Note (*) de M. Lambros Dokas, présentée par M. René Garnier.
Dans mes Notes antérieures [(*), (2)], j'ai introduit la notion d'« arbre quadrillé » d'un groupe
abélien p-primaire et j'ai formulé un « théorème de prolongement des isomorphismes » et un « théo-
rème d'isomorphie », dont j'avais esquissé la démonstration à partir de deux lemmes 3 et 4,
démontrés dans les Notes ultérieures [e), (4)]. Toutefois, les hypothèses du lemme 3, formulées
dans la Note (l), étaient trop faibles, ce qui oblige à renforcer aussi celles du théorème de prolon-
gement des isomorphismes. Dans la présente Note, je donne la formulation définitive de ce théo-
rème, et indique les modifications de sa démonstration et de celle du théorème d'isomorphie (dont
l'énoncé reste inchangé) que la modification du lemme 3 entraîne.
Je conserve les notations des Notes citées Ce) à (4)]. Alors on a la :
CONSÉQUENCE DES LEMMES 3 ET 4. — Soient A, B deux groupes abéliens p-primaires
tels que s = h (A) soit finie et que (A : A), où A = A [s — 1], soit p3. Soit 11 : A' --+ B'
un isomorphisme de l'arbre quadrillé de A sur celui de B, et soit ç : A ---> B un isomorphisme
de A dans B induisant la restriction 11 de 11 à A. Alors, il existe un isomorphisme ç : A --> B
prolongeant ç et induisant ƞ.
En effet, il existe un sous-ensemble { x, y, z 1 A disjoint avec A tel que A = A (x, y, z).
Donc, si A = g (x, y, z), A est = A [s - 1] + A. Le groupe A est de type (ps, ps, ps) et
A [s - 1 = A n A est £ A. Ainsi, ç induit sur ce groupe un isomorphisme ç : A [s — 1] —> B.
En vertu du 3° du lemme 4, il existe un isomorphisme ç : A —» B prolongeant ç, donc les
applications ç et ç sont compatibles. Leur superposition ç satisfait aux conditions du cas II
du lemme 3. Ce lemme montre qu'il existe un isomorphisme ç : A --> B prolongeant ç,
donc aussi ç, et induisant 11.
A étant un groupe abélien p-primaire et A [5] étant son sous-groupe formé par tous
ses éléments, dont l'ordre divise ps, l'indice G (A, s) = (A [5] : A [s - 1]) est une fonction
décroissante (au sens large) de s. Comme ses valeurs sont des cardinaux et comme toute
suite strictement décroissante de cardinaux est finie, G (A, s) devient stationnaire, et,
à partir d'un s convenable, prend une valeur constante σ* (A). La hauteur h (A') de
l'arbre A' de A est finie si, et seulement si σ* (A) = 0 : c'est le plus petit £ tel que
A [s+ 1] = A [s], c'est-à-dire G (A, s+ 1) = 0. Si a* (A) # 0 est fini, on a h (A') = + 00
et, en plus, en appliquant à A' le principe des boîtes de Weierstrass, on voit que A' a des
branches infinies donc A n'est pas réduit. Donc, si A est réduit, ou bien σ* (A) est infini,
ou bien h (A) est fini, auquel cas (d'après le premier théorème de Prüfer) A est une somme
directe de groupes cycliques. On va noter G (A) le plus petit G (A, s) non nul [donc
G (A) = σ* (A) si h (A') est + oo, et G (A) = G (A, h (A')) si h (A') est finie].
THÉORÈME DE PROLONGEMENT DES ISOMORPHISMES (énoncé rectifié). — Soient A, B deux
groupes abéliens p-primaires tels que G (A) p2, et soit 11 : A' --> B' un isomorphisme
de l'arbre quadrillé de A sur celui de B. Alors, il existe un isomorphisme ç : A ---> B de A
sur B, qui induit il.
THÉORIE DES GROUPES. — Une nouvelle approche à la théorie des groupes abéliens
p-primaires : esquisse des démonstrations des théorèmes de prolongement des isomor-
phismes et d'isomorphie. Note (*) de M. Lambros Dokas, présentée par M. René Garnier.
Dans mes Notes antérieures [(*), (2)], j'ai introduit la notion d'« arbre quadrillé » d'un groupe
abélien p-primaire et j'ai formulé un « théorème de prolongement des isomorphismes » et un « théo-
rème d'isomorphie », dont j'avais esquissé la démonstration à partir de deux lemmes 3 et 4,
démontrés dans les Notes ultérieures [e), (4)]. Toutefois, les hypothèses du lemme 3, formulées
dans la Note (l), étaient trop faibles, ce qui oblige à renforcer aussi celles du théorème de prolon-
gement des isomorphismes. Dans la présente Note, je donne la formulation définitive de ce théo-
rème, et indique les modifications de sa démonstration et de celle du théorème d'isomorphie (dont
l'énoncé reste inchangé) que la modification du lemme 3 entraîne.
Je conserve les notations des Notes citées Ce) à (4)]. Alors on a la :
CONSÉQUENCE DES LEMMES 3 ET 4. — Soient A, B deux groupes abéliens p-primaires
tels que s = h (A) soit finie et que (A : A), où A = A [s — 1], soit p3. Soit 11 : A' --+ B'
un isomorphisme de l'arbre quadrillé de A sur celui de B, et soit ç : A ---> B un isomorphisme
de A dans B induisant la restriction 11 de 11 à A. Alors, il existe un isomorphisme ç : A --> B
prolongeant ç et induisant ƞ.
En effet, il existe un sous-ensemble { x, y, z 1 A disjoint avec A tel que A = A (x, y, z).
Donc, si A = g (x, y, z), A est = A [s - 1] + A. Le groupe A est de type (ps, ps, ps) et
A [s - 1 = A n A est £ A. Ainsi, ç induit sur ce groupe un isomorphisme ç : A [s — 1] —> B.
En vertu du 3° du lemme 4, il existe un isomorphisme ç : A —» B prolongeant ç, donc les
applications ç et ç sont compatibles. Leur superposition ç satisfait aux conditions du cas II
du lemme 3. Ce lemme montre qu'il existe un isomorphisme ç : A --> B prolongeant ç,
donc aussi ç, et induisant 11.
A étant un groupe abélien p-primaire et A [5] étant son sous-groupe formé par tous
ses éléments, dont l'ordre divise ps, l'indice G (A, s) = (A [5] : A [s - 1]) est une fonction
décroissante (au sens large) de s. Comme ses valeurs sont des cardinaux et comme toute
suite strictement décroissante de cardinaux est finie, G (A, s) devient stationnaire, et,
à partir d'un s convenable, prend une valeur constante σ* (A). La hauteur h (A') de
l'arbre A' de A est finie si, et seulement si σ* (A) = 0 : c'est le plus petit £ tel que
A [s+ 1] = A [s], c'est-à-dire G (A, s+ 1) = 0. Si a* (A) # 0 est fini, on a h (A') = + 00
et, en plus, en appliquant à A' le principe des boîtes de Weierstrass, on voit que A' a des
branches infinies donc A n'est pas réduit. Donc, si A est réduit, ou bien σ* (A) est infini,
ou bien h (A) est fini, auquel cas (d'après le premier théorème de Prüfer) A est une somme
directe de groupes cycliques. On va noter G (A) le plus petit G (A, s) non nul [donc
G (A) = σ* (A) si h (A') est + oo, et G (A) = G (A, h (A')) si h (A') est finie].
THÉORÈME DE PROLONGEMENT DES ISOMORPHISMES (énoncé rectifié). — Soient A, B deux
groupes abéliens p-primaires tels que G (A) p2, et soit 11 : A' --> B' un isomorphisme
de l'arbre quadrillé de A sur celui de B. Alors, il existe un isomorphisme ç : A ---> B de A
sur B, qui induit il.
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