Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

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378 pages

Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte

Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)

Date d'édition : 1967-03-01

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34416987n

Type : texte texte

Type : publication en série imprimée publication en série imprimée

Langue : français

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Description : 01 mars 1967 01 mars 1967

Description : 1967/03/01 (SERA,T264,PART2)-1967/04/30. 1967/03/01 (SERA,T264,PART2)-1967/04/30.

Droits : Consultable en ligne

Identifiant : ark:/12148/bpt6k6431380c

Source : Archives de l'Académie des sciences

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 26/11/2012

C. R. Acad. Se. Paris, t. 264 (13 mars 1967). Série A — 541

RELATIVITÉ. — Interprétation m-dimensionnelie de Z'« Équation d'Einstein »
n-dimensionnelle. Note (*) de M. HENRI JUAN, présentée par M. André
Lichnerowicz.

Un groupe G d'isométries globales à p paramètres opère sur une variété riemanienne
à n dimensions U; l'ensemble U des orbites de G constitue une variété quotient
à n — p = m dimensions; on suppose « l'équation d'Einstein » valable sur U et l'on
en construit une interprétation m-dimensionnelle sur U.

1. HYPOTHÈSES. — Les notations sont celles utilisées dans e), et tout
renvoi à cet Ouvrage est noté G.R.

Ht. Sur une variété riemanienne à n dimensions, U, opère un groupe G
d'isométries globales à p paramètres.

H2. 3 un atlas de U formé de cartes F, dites standard, telles que :
a. VgEG, 3p constantes réelles "c vérifiant [x E déf (F) dans R"]
(1) #(F(a?)) =F(a? + |*/*'c).

Réciproquement, à des constantes k'c données correspond un élément g de G
qui satisfait à (i).

[Les indices latins primés j', k', varient de m + i à n; les indices
grecs X, [x, relatifs à U, de i à n et les indices latins j, k, relatifs à Û,
de i à m. ]

b. F et F* étant deux cartes standard, F* F-1 commute avec les éléments
de G.

H3. L'espace vectoriel tangent à l'orbite X d'un point X de U dans G,
est, du point de vue euclidien, un sous-espace régulier de l'espace vectoriel
tangent à U en X.

Remarque. — Ces hypothèses sont inchangées si l'univers physique Upliy
est quotient de U par un sous-groupe discret Go de G. U est alors un
revêtement de Uphy. En deux points de U équivalents par Go, les champs
de UpJ¡y relevés dans U prennent évidemment la même valeur.

2. VARIÉTÉ QUOTIENT U. — 10 Il résulte de Hi et de H2 que G, isomorphe
à RfJ, est un groupe de Lie, abélien. Le groupe G, la projection X->X
définissent sur U une structure d'espace fibré principal (G. R., 9.1) dont
la base est l'ensemble Û des X.

20 F étant une carte standard, xe R", si l'on écrit x l'élément de Rrn
formé par les m premières composantes de x, on peut noter F (x) l'orbite X
de X = F (x) dans le groupe G. Les F forment un atlas de U.

3° Les transformations de jauge sont, par définition, les difféomorphismes
de U dont la projection sur Û est l'identité sur un ouvert. Elles se repré-
sentent dans F par la substitution
(2) xi'-^x''+ cp'" ( £ ) (/=m + i, Ji).

G. R., 1967, ier Semestre. (T. 264, N° 11.) Séries A-B - 87

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