Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)
Date d'édition : 1973-05-01
Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34416987n
Type : texte texte
Type : publication en série imprimée publication en série imprimée
Langue : français
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Description : 01 mai 1973 01 mai 1973
Description : 1973/05/01 (SERA,T276,PART3)-1973/06/30. 1973/05/01 (SERA,T276,PART3)-1973/06/30.
Droits : Consultable en ligne
Identifiant : ark:/12148/bpt6k6424261b
Source : Archives de l'Académie des sciences
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 07/03/2014
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- TABLES DU TOME 276
- SÉRIE A. - SCIENCES MATHÉMATIQUES
- I. - PARTIE SCIENTIFIQUE
- II. - AUTEURS
- MM. Pages.
C. R. Acad. Se. Paris, t. 276 (13 juin 1973) Série A — 1541
ALGÈBRE. — Anneaux engendrés par leurs idempotents. Quasi-continuité
de M(I). Note (*) de M. Louis JEREMY, présentée par M. Jean Leray.
Cette Note fait suite à la précédente (5) dont elle généralise certains résultats.
Nous montrons que l'anneau des endomorphismes d'un module isotypique est
engendré par ses idempotents et qu'un tel module est quasi continu si et seulement
s'il est quasi injectif ce qui généralise, à l'aide de démonstrations élémentaires,
certains résultats de Y. Utumi [(5), (7)].
Les définitions et notations utilisées sont celles de C).
1. QUASI-CONTINUITÉ DE M(I) (10). — Si M = Mi 0 M2 est un A-module,
nous appelons pi (resp. p2) la projection canonique de Mi 0 M2 sur Mi
(resp. M2). D'autre part nous identifions Hom (Mi, M2) [resp. Hom (M2, Mi)]
et son image dans EndA M obtenue en prolongeant chaque homomor-
phisme par 0 sur le second facteur.
LEMME 1. — Soient M1 et M2 deux A-modules tels que MiflM2 = 0 et
soit f E Hom (Mi, Ma). Alors f se prolonge en un projecteur p de Mt ⊕ M2
sur Ma, et f = PPi.
p est défini par p = f + p2.
Nous rappelons qu'un module M est dit quasi continu s'il est stable par
tout projecteur d'une de ses enveloppes injectives (ou encore si tout projec-
teur de tout sous-module de M se prolonge en un projecteur de M). Tout
module injectif (resp. quasi injectif) est quasi continu.
THÉORÈME 2. — Soit Mi 0 M2 un A-module quasi continu. Si N est
un sous-module de Mi tout homomorphisme f de N dans M2 se prolonge en
un homomorphisme de Mi dans M2.
On applique le lemme précédent à N et M2.
COROLLAIRE 3. — Soient A un anneau et M un A-module. Alors
(1) Si aA X M est un A-module quasi continu, M est injectif.
(2) Si M2 est quasi continu, M est quasi injectif.
Ce corollaire permet de généraliser la notion de module H-quasi injectif
étudiée par A. Cailleau et G. Renault [(1), (2)] :
COROLLAIRE 4. - Soit M un A-module. Alors les conditions suivantes
sont équivalentes :
(1) M est h-quasi injectif;
(2) M(N) est quasi continu;
(3) M(I) est quasi continu pour tout ensemble I.
On obtient ainsi une généralisation de la caractérisation des anneaux
quasi frobéniusiens donnée par Carl Faith (3) (théorème 2) :
COROLLAIRE 5. — Un anneau est quasi frobéniusien si et seulement si
le A module à gauche AA eN) est quasi continu.
ALGÈBRE. — Anneaux engendrés par leurs idempotents. Quasi-continuité
de M(I). Note (*) de M. Louis JEREMY, présentée par M. Jean Leray.
Cette Note fait suite à la précédente (5) dont elle généralise certains résultats.
Nous montrons que l'anneau des endomorphismes d'un module isotypique est
engendré par ses idempotents et qu'un tel module est quasi continu si et seulement
s'il est quasi injectif ce qui généralise, à l'aide de démonstrations élémentaires,
certains résultats de Y. Utumi [(5), (7)].
Les définitions et notations utilisées sont celles de C).
1. QUASI-CONTINUITÉ DE M(I) (10). — Si M = Mi 0 M2 est un A-module,
nous appelons pi (resp. p2) la projection canonique de Mi 0 M2 sur Mi
(resp. M2). D'autre part nous identifions Hom (Mi, M2) [resp. Hom (M2, Mi)]
et son image dans EndA M obtenue en prolongeant chaque homomor-
phisme par 0 sur le second facteur.
LEMME 1. — Soient M1 et M2 deux A-modules tels que MiflM2 = 0 et
soit f E Hom (Mi, Ma). Alors f se prolonge en un projecteur p de Mt ⊕ M2
sur Ma, et f = PPi.
p est défini par p = f + p2.
Nous rappelons qu'un module M est dit quasi continu s'il est stable par
tout projecteur d'une de ses enveloppes injectives (ou encore si tout projec-
teur de tout sous-module de M se prolonge en un projecteur de M). Tout
module injectif (resp. quasi injectif) est quasi continu.
THÉORÈME 2. — Soit Mi 0 M2 un A-module quasi continu. Si N est
un sous-module de Mi tout homomorphisme f de N dans M2 se prolonge en
un homomorphisme de Mi dans M2.
On applique le lemme précédent à N et M2.
COROLLAIRE 3. — Soient A un anneau et M un A-module. Alors
(1) Si aA X M est un A-module quasi continu, M est injectif.
(2) Si M2 est quasi continu, M est quasi injectif.
Ce corollaire permet de généraliser la notion de module H-quasi injectif
étudiée par A. Cailleau et G. Renault [(1), (2)] :
COROLLAIRE 4. - Soit M un A-module. Alors les conditions suivantes
sont équivalentes :
(1) M est h-quasi injectif;
(2) M(N) est quasi continu;
(3) M(I) est quasi continu pour tout ensemble I.
On obtient ainsi une généralisation de la caractérisation des anneaux
quasi frobéniusiens donnée par Carl Faith (3) (théorème 2) :
COROLLAIRE 5. — Un anneau est quasi frobéniusien si et seulement si
le A module à gauche AA eN) est quasi continu.
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