Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)
Date d'édition : 1973-03-01
Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34416987n
Type : texte texte
Type : publication en série imprimée publication en série imprimée
Langue : français
Format : Nombre total de vues : 52635 Nombre total de vues : 52635
Description : 01 mars 1973 01 mars 1973
Description : 1973/03/01 (SERA,T276,PART2)-1973/04/30. 1973/03/01 (SERA,T276,PART2)-1973/04/30.
Droits : Consultable en ligne
Identifiant : ark:/12148/bpt6k6236938x
Source : Archives de l'Académie des sciences
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 16/07/2012
C. R. Acad. Se. Paris, t. 276 (16 avril 1973) Série A — 1091
ALGÈBRE. — Coalgèbre et extension de Kan.
Note (*) de M. GÉRARO MICRON, transmise par M. Henri Cartan.
Utilisation de l'extension de Kan pour mettre en évidence des couples de
foncteurs adjoints. Application aux catégories algébriques.
0. NOTATIONS. — Pour deux catégories A et B, nous notons [A, B]
la catégorie dont les flèches sont les transformations naturelles entre
foncteurs de A vers B. La catégorie [A, B],, (resp. [A, B]d) est la sous-caté-
gorie pleine de la précédente définie par les foncteurs qui possèdent un
adjoint à gauche (resp. un adjoint à droite).
Soient un foncteur F : A -+ B et une catégorie X. Le foncteur X* :
[B, X] -+ [A, X] est le foncteur qui à la flèche η : G --->- G' associe la flèche
η★F.GF → G' F. Lorsque l'adjoint du foncteur XF existe (c'est-à-dire
lorsque chaque foncteur de A vers X admet une extension de Kan par le
foncteur F), nous le notons EF : [A, X] -+ [B, X].
1. j — FONCTEURS. Soient C et Y deux catégories possédant de petites
limites inductives, M une petite sous-catégorie pleine de C, dense dans C
j : M -+ G le foncteur inclusion.
Avec ces hypothèses, le foncteur extension de Kan par j, Ej :
[M, Y] -+ [C, Y] existe.
DÉFINITION 1.1. — Nous dirons qu'un foncteur F : M -> Y est un j-fonc-
teur si le foncteur Ej (F) : C -> Y possède un adjoint 'à droite.
Nous noterons [M, Y]j la sous-catégorie pleine de la catégorie [M, Y]
définie par les j-foncteurs.
Le foncteur Ey : [M, Y] -> [c, Y] restreint à la sous-catégorie pleine
[M, Y]y prend ses valeurs dans la catégorie [C, Y],< et partant, permet de
définir un foncteur Φ: [M, Y]j + [c, Y]d. En utilisant la densité du foncteur j
M -+ C, on démontre que le foncteur$: [M, Y]y -> [c, Y]d est une équi-
valence de catégorie. Ceci, joint au fait que les catégories [C, Y]^ et [Y, C]d
sont équivalentes, permet d'énoncer :
PROPOSITION 1.1. — Les catégories [M, Y]o et [Y, C]g sont équivalentes.
On peut expliciter l'équivalence, en effet :
PROPOSITION 1.2. — Un foncteur F : M -> Y est un j-foncteur si et seule-
ment si Ej (F) est un adjoint de E,, (j).
Le foncteur dense j : M -7- C induit un foncteur pleinement fidèle D :
C -> [MO , Ens] (').
ALGÈBRE. — Coalgèbre et extension de Kan.
Note (*) de M. GÉRARO MICRON, transmise par M. Henri Cartan.
Utilisation de l'extension de Kan pour mettre en évidence des couples de
foncteurs adjoints. Application aux catégories algébriques.
0. NOTATIONS. — Pour deux catégories A et B, nous notons [A, B]
la catégorie dont les flèches sont les transformations naturelles entre
foncteurs de A vers B. La catégorie [A, B],, (resp. [A, B]d) est la sous-caté-
gorie pleine de la précédente définie par les foncteurs qui possèdent un
adjoint à gauche (resp. un adjoint à droite).
Soient un foncteur F : A -+ B et une catégorie X. Le foncteur X* :
[B, X] -+ [A, X] est le foncteur qui à la flèche η : G --->- G' associe la flèche
η★F.GF → G' F. Lorsque l'adjoint du foncteur XF existe (c'est-à-dire
lorsque chaque foncteur de A vers X admet une extension de Kan par le
foncteur F), nous le notons EF : [A, X] -+ [B, X].
1. j — FONCTEURS. Soient C et Y deux catégories possédant de petites
limites inductives, M une petite sous-catégorie pleine de C, dense dans C
j : M -+ G le foncteur inclusion.
Avec ces hypothèses, le foncteur extension de Kan par j, Ej :
[M, Y] -+ [C, Y] existe.
DÉFINITION 1.1. — Nous dirons qu'un foncteur F : M -> Y est un j-fonc-
teur si le foncteur Ej (F) : C -> Y possède un adjoint 'à droite.
Nous noterons [M, Y]j la sous-catégorie pleine de la catégorie [M, Y]
définie par les j-foncteurs.
Le foncteur Ey : [M, Y] -> [c, Y] restreint à la sous-catégorie pleine
[M, Y]y prend ses valeurs dans la catégorie [C, Y],< et partant, permet de
définir un foncteur Φ: [M, Y]j + [c, Y]d. En utilisant la densité du foncteur j
M -+ C, on démontre que le foncteur$: [M, Y]y -> [c, Y]d est une équi-
valence de catégorie. Ceci, joint au fait que les catégories [C, Y]^ et [Y, C]d
sont équivalentes, permet d'énoncer :
PROPOSITION 1.1. — Les catégories [M, Y]o et [Y, C]g sont équivalentes.
On peut expliciter l'équivalence, en effet :
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ment si Ej (F) est un adjoint de E,, (j).
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C -> [MO , Ens] (').
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