Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences... Série A et B : sciences mathématiques. Sciences physiques / Académie des sciences ; [dir. publ. Guy de Dampierre]
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Source : Bibliothèque nationale de France, département Collections numérisées, 2008-226741
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 11/10/2012
C. R. Acad. Sc. Paris, t. 281 (13 octobre 1975) Série A — 593
NOTES DES MEMBRES ET CORRESPONDANTS ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS
THÉORIE DES RELATIONS. — Le problème de l'isomorphie des restrictions strictes, pour les extensions à un élément de relations enchaînables non constantes. Note (*) de M. Gérard Lopez, présentée par M. André Lichnerowicz.
Soient R et R' deux relations m-aires de même base E finie satisfaisant la condition suivante : (a) Pour toute partie stricte F de E, R/F et R'/F sont isomorphes. On montre que, s'il existe un élément x de E tel que la restriction de R à E — x est une relation enchaînable non constante, et si E est assez grand, alors R et R' sont isomorphes. On utilise la théorie des chaînes permutées de Frasnay. Dans le cas où R est elle-même enchaînable, le résultat a déjà été obtenu par Frasnay (4) et par Pouzet (s).
Les notions de relation enchaînable, relation presque-enchaînable, noyau d'une relation presque-enchaînable sont définies en (2). Pour la notion de chaînes G-compatibles, où G est un groupe de permutations, voir e) ou (4). Les différents groupes indicatifs S,,, In, J,,, T,,, D,,, IP- n 'l, ~J rn, sont définis en (4). Une relation R est dite constante si toute permutation de sa base est un automorphisme de R.
Type d'un élément : Les relations considérées sont de base finie. Soit t le type d'isomorphie d'une relation. Soit x un élément de la base d'une relation R; on appellera type de x en t, le couple (n, t), où n est le nombre de restrictions de R du type t. Soit ff une famille de types de relations; le type de x en 57 sera l'ensemble des couples (n, t), où t parcourt ff. Si !F est l'âge de R, le type de x en 57 sera alors appelé le type de x dans R, ou encore s'il n'y a pas d'ambiguïté sur la relation R considérée, le type de x. On notera x la classe des élé- ments de même type que x. Pour F c E nous avons
1. Soit k + 1 chaînes C, Wl, ., W, sur le même ensemble E, fi l'isomorphisme de W sur Wi et B une partie de E de m éléments.
Alors il existe un entier h (k, m) ne dépendant que de k et de m tel que si card (E) > h (k, m), alors il existe une extension B* de B qui est une partie stricte de E, telle que pour tout i k, l'isomorphisme gi de C/B* sur Ci/B* coïncide avecfi en tout point de B.
On utilisera également la forme suivante : il existe une partie D non vide dont le cardinal ne dépend que de k et de m, telle que D n B = 0, et l'isomorphisme gi de ^/E —D sur Ci/E-D est tel que gJB = fi/B.
On établit le résultat par récurrence sur le nombre de chaînes. On considère un partage des chaînes en m intervalles li p désignant le p-ième intervalle de la chaîne Ci). Pour p fixé les ~Ijp ont tous le même nombre d'éléments. On montre d'abord dans le cas de deux chaînes qu'on peut mettre E sous la forme d'une réunion de parties F telles que pour tout
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