Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences... Série A et B : sciences mathématiques. Sciences physiques / Académie des sciences ; [dir. publ. Guy de Dampierre]
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Source : Bibliothèque nationale de France, département Collections numérisées, 2008-226741
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 11/10/2012
C. R. Acad. Se. Paris, t. 281 (22 septembre 1975) Série A — 403
NOTES DES MEMBRES ET CORRESPONDANTS ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS
LOGIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur les théories catégoriques finiment axiomatisables.
Note (*) de M. Jacques Mazoyer, présentée par M. Jean Leray.
On démontre un théorème de non-existence qui est un cas particulier d'une conjecture de Morley- Shelah.
On remarque tout d'abord qu'une conjecture de Morley (1), Shelah (2), la non-existence de théorie complète, finiment axiomatisable, catégorique en tout cardinal, se ramène à la non-existence de théorie complète, finiment axiomatisable, catégorique en tout cardinal et modèle-complète : en effet on peut se ramener au cas où la théorie est V 3, en rajoutant de nouveaux symboles relationnels, puis à une théorie modèle-complète à l'aide du théo- rème de Lindstrôm (3).
Ici on montre un théorème de non-existence avec des hypothèses qui semblent assez proches des précédentes.
THÉORÈME. — Il n'existe pas de théorie T, de langage purement relationnel fini, complète, finiment axiomatisable, catégorique en ~K0, ~a-stable, admettant l'élimination des quantifi- cateurs en L (T).
Soit T une telle théorie si elle existe; on raisonne dans Mo, le modèle de T en ~X., puis on construira un sous-modèle de Mo, non isomorphe à Mo.
T est ~K0-catégorique, donc pour tout entier n, S,, (T) est fini et tout n-type est principal (4).
Pour chaque n-type, on choisit une formule 87 (x) l'isolant.
T est co-stable, donc il existe une formule minimale (5); on peut supposer que D (x) formule sans paramètre est minimale; en effet si D (x, d) est minimale, on considère la nouvelle théorie T u Diag (d).
Il existe un entier nT tel que : 1° Si N d'Ehrenfeucht-Fraïssé (6).
2° Toute formule de L (T) est équivalente dans T à une combinaison booléienne des t (x) (1 i < eT), car T est No-catégorique et admet l'élimination des quantificateurs en L (T), langage purement relationnel fini.
Il existe des indices i et un entier kt tel que T ~f- V Y 3 A-,! x ~87T + 1 (x, y). On appelle VT la somme des kx pour de tels indices i.
On montre facilement :
LEMME 1. — Pour tout entier n, il existe un entier kn tel que pour toute formule cp (x, y) avec 1 y = n, et iout a E 1 Mo ~ln, si { ~x 1 Mo N D (x) A (p (x, a) } a plus de kn éléments, il est infini.
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