Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences... Série A et B : sciences mathématiques. Sciences physiques / Académie des sciences ; [dir. publ. Guy de Dampierre]
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Source : Bibliothèque nationale de France, département Collections numérisées, 2008-226741
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 11/10/2012
C. R. Acad. Sc. Paris, t. 281 (8 septembre 1975) Série A — 301
NOTES DES MEMBRES ET CORRESPONDANTS ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS
LOGIQUE MATHÉMATIQUE. - Minimalité des réels définis par « forcing » sur certaines familles d'arbres de suites finies d'entiers. Note (*) de M. Serge Grigorieff, présentée par M. Jean Leray.
Soit 9J1 un modèle de ZF plus l'axiome du choix. On note o (N) l'ensemble des suites finies d'entiers que l'on ordonne par la relation <= de prolongement de suites. On appelle arbre toute partie non vide A de a (N) qui est close par restriction de suites ; si s e A on pose Ais = {t∈A; t⊂s ou t⊃s }.
Si s ∈σ (N), s: k - N, si a e N, on note s * a la suite de domaine k + 1 qui prolonge s et dont la valeur au point k est a.
Un arbre A est dit superparfait si (∀ s ∈ A) (∃t∈A) (t ⊃ s et { n;t★n∈A } est infini).
On désigne par P la famille des arbres superparfaits (dans M) ordonnée par inclusion. Nous mon- trons dans cette Note que, si G est une partie 9J1 -générique de P, il n'y a pas de modèle intermé- diaire entre 9R et 9J1 [G]. Une généralisation de ce résultat est ensuite considérée, qui fait intervenir la notion d'arbre J-superparfait, J étant un idéal sur 9 (N).
1. FORCING AVEC LES ARBRES SUPERPARFAITS. — On introduit une notion de fusion analogue à celle de (2).
DÉFINITION 1. — Une famille (As)s ∈ σ (N) est dite fusionnable si (i) (∀s, t∈ σ (N)) (⊂t⇒As⊃At); (ii) (V s e G (N)) (3 ? e As) (3 h : N ---> N) [h est strictement croissante et V n (A,*n (-- A., t * h (n))].
LEMME 2. — Si la famille (As)s∈σ(N) est fusionnable alors l'ensemble B = n U As n seN" est un arbre superparfait.
Preuve. — Il existe deux fonctions T : a (N) --> a (N) et H : a (N) —> NN telles que, pour tout s, T (s) et H (s) ont les propriétés de t et h de (ii) (déf. 1). On voit par induction que T (s) a une longueur au moins égale à celle de s; aussi, T (s) E A. Soit u ∈ A ∩Nn, il existe s e N" et AEN tels que u ∈ As ★ a; comme As★⊂As| T (s) ★ H (s) (n) et T (s) a une longueur au moins égale à n, on voit que u a T (s). Ainsi, on a B = {u∈σ(N); ∃s∈σa(N)u ⊂ T(s)}.
Pour tout s on a T (s ★n) ⊃T (s) ★H (s) (n); par suite { a ∈ N; T (s)★a∈ A }, qui est aussi l'image de H (s), est un ensemble infini et B est ainsi un ensemble super- parfait.
THÉORÈME 3. — Soit G une partie ~-générique de P. Il n'existe pas de modèle inter- médiaire entre 9R et fil [G], i. e. pour tout {∈~} [G], soit ʃ∈~, soit 9J1 [/] = IDl [G].
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