Ausgewählte Kapitel der Zahlentheorie : Vorlesung, gehalten im Wintersemester 1895/96 und Sommersemester 1896 / von F. Klein ; ausgearbeitet von A. Sommerfeld und Ph. Furtwängler

Die Punktgitter in der Ebene

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Arithmetische Darlegung des Euklidischen Algorithmus bezw, der gewöhnlichen Kettenbruchentwickelung

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Zugehörige geometrische Interpretation

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Entwickelung rationaler Brüche, Erzeugung aller unimodularen Substitutionen durch S und T, bezw. S und S'

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Der Satz von Lagrange über die relativen Minima der Linearformen

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Das System der Geometrie

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Die Pseudometrik, der elliptische Fall

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Der hyperbolische und der parabolische Fall

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Bedeutung des Problems der zahlentheoretischen Äquivalenz zweier binärer quadratischer Formen

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2. Die Reduktionstheorie im parabolischen Falle

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Die Einführung der natürlichen Umrißpolygone, Definition der reduzierten Formen

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Serien zusammengehöriger reduzierter Formen

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Arithmetische Bestimmungen hierfür

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Die ganzzahligen Formen, insbesondere ihre regulären Automorphieen

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Beziehungen zur Pellschen Gleichung, der Pellsche Winkel

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Ganzzahlige Formen derselben Diskriminante, Endlichkeit der Klassenzahl

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Zahlenbeispiel D = 40

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4. Die Reduktionstheorie im elliptischen Falle

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Die Koeffizientenverhältnisse a: b: c als trimetrische Koordinaten in der Ebene

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Der fundamentale Kegelschnitt und seine Parameterdarstellung

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Abgrenzung des reduzierten Raumes

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Rationale Punkte auf dem Kegelschnitt und das Hilfsmittel der harmonischen Konstruktion

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Fortschreitende Konstruktion neuer Dreiecke von dem Dreiecke 0 1 aus

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Algorithmus für die Parameterwerte der sukzessiven Dreiecksecken

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Beziehungen zur Kettenbruchentwickelnng der rationalen Brüche. Definition der Elementarsehnen erster und zweiter Art

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Der Fundamentalbereich (Diskontinuitätsbereich) der Gruppe (ad - bg ) = + 1

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Verschärfungen für den Rand des Fundamentalbereichs; Formen mit außergewöhnlichen Automorphieen

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Der Fundamentalbereich der erweiterten Gruppe; die formae ancipites

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Vergleich der neuen Theorie mit den früheren Parallelgittern

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Äquivalente Punkte auf dem Kegelschnitt liegen überall dicht

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Der reduzierte Punktraum

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Das Hermitesche Prinzip: Der Punkt wird durch seine Polarschne ersetzt

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Die Polarsehnen der reduzierten Formen

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Kette von Elementarsehnen erster Art, zu einer Polarsehne gehörig

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Zusammenhang mit der früheren Reduktionstheorie der Formen f

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Die Automorphieen unserer Formen

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Die Bedeutung der gewöhnlichen Automorphieen bei Zugrundelegung der Cayleyschen Maßbestimmung

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Entsprechende Charakterisierung der anderen Automorphieen

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Die spezifische Schwierigkeit der Theorie

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Die Parallelgitter als gemeinsame Grundlage der beiden Theorieen

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Eine erste Definition der elliptischen Funktionen (Voranstellung der p (u), p' (u), g2, g3)

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Verhalten der so definierten Funktionen in dem Periodenparallelogramm der u-Ebene

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Einteilung der w - Ebene in Kreisbogendreiecke

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Das Verhalten der Modulfunktionen im einzelnen Fundamentalbereich der w - Ebene

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Die reelle w - Axe als Ort gehäufter Singularitäten

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Aufsteigen zu den Modulformen

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Die elliptischen Modulfunktionen als analytische Invarianten unserer zahlentheoretischen Gebilde

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Weiterführung der elliptischen Theorie: Das allgemeine Programm der "Modulfunktionen"

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Nähere Angaben über die niedersten Stufenzahlen

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Noch weitergehende Verallgemeinerungen

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Die allgemeine Fragestellung betr. singuläre elliptische Gebilde

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Bemerkungen über Moduln höherer Stufe und die zugehörige Definition der relativen Äquivalenz quadratischer Formen

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Von der Kroneckerschen Grenzformel

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Das allgemeine Problem der eingelagerten Gitterzahl und Auswahl der Repräsentanten

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Zusammenfassung der ganzzahligen Gitter mit gemeinsamer Stammdiskriminante (die h Stämme und ihre Zweige)

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Die Transformationsgleichung F (J', J) = O auf Grund des Fundamental-polygons

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Einführung von j = 1728 J. Besondere Eigenschaften von F (j', j) = O

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Überleitung zur Multiplikatorgleichung erster Stufe

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Allgemeine Erläuterungen, insbesondere betreffend die Ikosaederirrationalität z

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Einiges über die Transformationstheorie des z (die Hauptgleichung und die 59 Nebengleichungen)

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Verabredungen beim Hauptgitter; die Gitterzahlen als ganze Zahlen des Körpers V d

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Vorläufiges über Nebengitter: Konjugierte Lago konjugierter Gitter

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Orientierung der Ancepsgitter

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Definitionen

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Allgemeiner Satz über die Komposition zweier Stammgitter

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Die Arndtschen Formeln

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Komposition der Formen; Korollar der Gitterkomposition

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Spezielle Fälle

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Die h Stammgitter als eine Gruppe vertauschbarer Elemente

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Zahlenbeispiele

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Die Normalfigur der h orientierten Gitter

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Der allgemeine Ansatz: Einheiten und Primzahlen

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Die Grundoperationen im Gebiete der Gitterzahlen

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Beziehungen zu Dedekinds Idealtheorie; Bildgitter

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Beziehung zwischen den Gitterzahlen und ihren Bildgittern

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Vergleich der Dedekindschen Definition der Idealgitter mit der unsrigen

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Verallgemeinerung der Idealtheorie (Nebengitterideale)

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Gleichwertigkeit der Gitterzahlen und der entsprechenden Idealgitter bezüglich der Teilbarkeit

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Algorithmus zur Aufsuchung des größten gemeinsamen Teilers zweier Gitterzahlen

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Die einfachen Gesetze der Faktorenzerlegung

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Allgemeine Aufzählung der vorhandenen Primfaktoren

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4. Andeutung über die Zweiggitter

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Bezeichnungen

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Der Fundamentalsatz betr. die Übereinstimmung gewisser transformierter Gitter mit den Idealgittern

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Die Bedeutung des Fundamentalsatzes für die Wurzelu der Transformations-gleichung F (j', j) = O und die zugehörige Multiplikatorgleichung

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Bestätigungen im Falle d = - 3

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Von den Transformationen nter Ordnung, welche j' = j liefern

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Die Funktion j' - j auf der zugehörigen Riemannschen Fläche und die Klassenzahlrelation erster Stufe

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Die Herstellung der Klassengleichung c (j) = O

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Die Klassengleichung als Abelsche Gleichung im Berciche V - d

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Andeutungen über den Klassenkörper (erster Stufe)

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Erneute Betrachtung der zum Ikosaeder gehörigen Transformationsgleichungen

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Die Gleichungen

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Die Klassengleichungen fünfter Stufe

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Schlußbemerkung

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