118 G. KŒNIGS.
De cette substitution, toutefois, il ne résulte aucune modification
pour chacun des éléments ci-dessus introduits.
Cela tient à ce que toutes les surfaces parallèles à (F) ont la même
congruence de normales.
Nous sommes dès lors amenés à présenter les éléments ci-dessus
introduits en nous plaçant au point de vue des congruences.
Les éléments II1, II2, CI, C2 constituent les éléments focaux de la
congruence des normales qui sont relatifs à la normale a de la sur-
face (F).
Imaginons que dans le plan II2 et par le point C, on mène une droite
arbitraire x1' puis, par le point C2, dans le plan II, une droite x2. La
congruence linéaire qui admettrait x1 et X2 comme directrices est tan-
gente à la congruence des normales en la droite a, ce qui signifie
qu'une droite a! de la congruence des normales infiniment voisine de a
peut être regardée, au second ordre près, comme appartenant à la
congruence linéaire tangente, c'est-à-dire comme une sécante des
droites xK et x2.
11. Détermination de la congélation H. — Appliquons ceci
à l'hypothèse où a' serait la génératrice de la surface (S) infiniment
voisine de la droite a.
Les droites a, a' n'appartiennent pas seulement à la congruence des
normales, elles appartiennent aussi au complexe linéaire comme il
a été déjà dit et cela d'après la définition même de (S).
Puisque a coupe les deux droites x1 et X2 et que a' elle-même peut
être regardée comme coupant ces deux droites, les droites x°1,
conjuguées de xn X2 dans le^complexe Z coupent elles aussi a et a'.
On doit de plus remarquer que si l'on appelle C", C" les pôles des
plans II, et TI2 dans le complexe, ces points sont respectivement ceux
où la droite a est coupée par les droites x' et x\ ; de même si l'on
appelle II" et II les plans polaires de C,, C2 dans le complexe ces
plans passent par a et contiennent, le premier II" la droite x', le
second II" la droite xl. En effet, la droite x, étant issue du point C,
dans le plan II2, sa conjuguée ~ doit être contenue dans le plan II~ et
passer au point C", tandis que X2 étant issue du point C2 dans le plan II1,
sa conjuguée x~ doit être issue du point C" dans le plan II~.
De cette substitution, toutefois, il ne résulte aucune modification
pour chacun des éléments ci-dessus introduits.
Cela tient à ce que toutes les surfaces parallèles à (F) ont la même
congruence de normales.
Nous sommes dès lors amenés à présenter les éléments ci-dessus
introduits en nous plaçant au point de vue des congruences.
Les éléments II1, II2, CI, C2 constituent les éléments focaux de la
congruence des normales qui sont relatifs à la normale a de la sur-
face (F).
Imaginons que dans le plan II2 et par le point C, on mène une droite
arbitraire x1' puis, par le point C2, dans le plan II, une droite x2. La
congruence linéaire qui admettrait x1 et X2 comme directrices est tan-
gente à la congruence des normales en la droite a, ce qui signifie
qu'une droite a! de la congruence des normales infiniment voisine de a
peut être regardée, au second ordre près, comme appartenant à la
congruence linéaire tangente, c'est-à-dire comme une sécante des
droites xK et x2.
11. Détermination de la congélation H. — Appliquons ceci
à l'hypothèse où a' serait la génératrice de la surface (S) infiniment
voisine de la droite a.
Les droites a, a' n'appartiennent pas seulement à la congruence des
normales, elles appartiennent aussi au complexe linéaire comme il
a été déjà dit et cela d'après la définition même de (S).
Puisque a coupe les deux droites x1 et X2 et que a' elle-même peut
être regardée comme coupant ces deux droites, les droites x°1,
conjuguées de xn X2 dans le^complexe Z coupent elles aussi a et a'.
On doit de plus remarquer que si l'on appelle C", C" les pôles des
plans II, et TI2 dans le complexe, ces points sont respectivement ceux
où la droite a est coupée par les droites x' et x\ ; de même si l'on
appelle II" et II les plans polaires de C,, C2 dans le complexe ces
plans passent par a et contiennent, le premier II" la droite x', le
second II" la droite xl. En effet, la droite x, étant issue du point C,
dans le plan II2, sa conjuguée ~ doit être contenue dans le plan II~ et
passer au point C", tandis que X2 étant issue du point C2 dans le plan II1,
sa conjuguée x~ doit être issue du point C" dans le plan II~.
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