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- TABLE DES MATIÈRES DU MÉMOIRE DE M. HUMBERT.
- PREMIÈRE PARTIE.
- DEUXIÈME PARTIE. SURFACE DE KUMMER.
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- TROISIEME PARTIE. SURFACES HYPERELLIPTIQUES GÉNÉRALES.
THÉORIE GÉNÉRALE DES SURFACES HYPERELLIPTIQUES. 385
singularité que σ0; le nombre des courbes adjointes linéairement
distinctes du même ordre et de la même famille est égal à m2 - ~c,,, et
si l'on retranche la courbe 0o = o elle-même, il reste m2 — c0 — i de
ces courbes, fournissant par la formule (4) autant d'intégrales abé-
liennes de première espèce, sur Θ0 = o. Si l'on ajoute les intégrales
fdu et ∫ dv, On voit que le genre, p, de la courbe 00 = o est au moins
égal à m2 — ~cj, + I,
p > m2 — ~c'0 H- I.
Or on a
d'où l'on tire
et par suite, comme ~c' 0 ne peut dépasser ~|I(ct0, ~o-'0), d'après- ce qui a
-
été dit plus haut, on a nécessairement
Donc :
Pour une courbe du champ hyperelliptique possédant en un
point une singularité σ0, le nombre est égal : 1° au
nombre des conditions linéaires auxquelles équivaut la singularité
adjointe ~a'0 ; 2° au nombre qui exprime l'abaissement du genre dû
à la singularité σ0.
121. Nous sommes maintenant en mesure d'établir la proposition
que nous avions en vue relativement aux intégrales abéliennes de pre-
mière espèce qui appartiennent à une courbe du champ hyperellip-
tique.
Soit 00 = o cette courbe; supposons qu'elle ait en des points u1, v1, ,
u2, v2, ... des singularités σ1, σ2, ..., soit p son genre, désignons
par m l'ordre de Θ0(u, v).
Journ. de Math, (4° série), tome IX, — Fasc. IV, 1893. 49
singularité que σ0; le nombre des courbes adjointes linéairement
distinctes du même ordre et de la même famille est égal à m2 - ~c,,, et
si l'on retranche la courbe 0o = o elle-même, il reste m2 — c0 — i de
ces courbes, fournissant par la formule (4) autant d'intégrales abé-
liennes de première espèce, sur Θ0 = o. Si l'on ajoute les intégrales
fdu et ∫ dv, On voit que le genre, p, de la courbe 00 = o est au moins
égal à m2 — ~cj, + I,
p > m2 — ~c'0 H- I.
Or on a
d'où l'on tire
et par suite, comme ~c' 0 ne peut dépasser ~|I(ct0, ~o-'0), d'après- ce qui a
-
été dit plus haut, on a nécessairement
Donc :
Pour une courbe du champ hyperelliptique possédant en un
point une singularité σ0, le nombre est égal : 1° au
nombre des conditions linéaires auxquelles équivaut la singularité
adjointe ~a'0 ; 2° au nombre qui exprime l'abaissement du genre dû
à la singularité σ0.
121. Nous sommes maintenant en mesure d'établir la proposition
que nous avions en vue relativement aux intégrales abéliennes de pre-
mière espèce qui appartiennent à une courbe du champ hyperellip-
tique.
Soit 00 = o cette courbe; supposons qu'elle ait en des points u1, v1, ,
u2, v2, ... des singularités σ1, σ2, ..., soit p son genre, désignons
par m l'ordre de Θ0(u, v).
Journ. de Math, (4° série), tome IX, — Fasc. IV, 1893. 49
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