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556 pages
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- TABLE ANALYTIQUE DES MATIERES PAR ORDRE ALPHABETIQUE (1).
- A
- .......... Page(s) .......... 544
- .......... Page(s) .......... 544
- .......... Page(s) .......... 545
- Sur une surface,
- Action relative à un mouvement dans l'espace,
- Principe de la moindre action,
- Variation de l'action,
- Généralisation des propriétés des rayons lumineux,
- .......... Page(s) .......... 172, 847, 849, 850
- ANALOGIES entre la Géométrie du plan et celle des surfaces à courbure constante,
- ANGLE DE CONTINGENCE GEODESIQUE,
- ANGLES relatifs à une forme quadratique,
- Orthogonalité relative à une forme quadratique,
- .......... Page(s) .......... 479
- .......... Page(s) .......... 480
- .......... Page(s) .......... 452
- .......... Page(s) .......... 453
- .......... Page(s) .......... 182
- .......... Page(s) .......... 182
- .......... Page(s) .......... 350
- C
- CARACTERISTIQUES DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES non linéaires du second ordre,
- Théorie de l'équation
,
- .......... Page(s) .......... 106
- .......... Page(s) .......... 107
- .......... Page(s) .......... 108
- .......... Page(s) .......... 66
- .......... Page(s) .......... 490, 634, 637
- CERCLES GEODESIQUES,
- Courbes dont la courbure géodésique est une fonction donnée des coordonnées du point de la courbe,
- Problème du calcul des variations dont elles donnent la solution,
- Cercles géodésiques des surfaces applicables sur les surfaces de révolution,
- De la pseudosphère,
- Longueur d'une circonférence géodésique,
- CERCLES GEODESIQUES DES SURFACES A COURBURE CONSTANTE,
- CERCLES GEODESIQUES ET SYSTEMES ISOTHERMES,
- Problème non résolu relatif aux surfaces qui admettent au moins trois familles isothermes composées de cercles géodésiques,
- .......... Page(s) .......... 511
- .......... Page(s) .......... 448
- .......... Page(s) .......... 446, 471, 472, 477
- .......... Page(s) .......... 311
- .......... Page(s) .......... 438, 439
- .......... Page(s) .......... 440
- CONGRUENCES DE COURBES ALGEBRIQUES.
- .......... Page(s) .......... 446
- .......... Page(s) .......... 446
- .......... Page(s) .......... 318-320
- .......... Page(s) .......... 322, 323
- .......... Page(s) .......... 324
- .......... Page(s) .......... 483, 886-889
- Relation entre les courbures totales des deux nappes,
- .......... Page(s) .......... 455
- .......... Page(s) .......... 260, 863
- Surface moyenne d'une congruence isotrope,
- .......... Page(s) .......... 420, 421
- Congruences dont les développables se correspondent et interceptent sur une même surface un même système conjugué,
- Congruences engendrées par des droites parallèles et dont les développables se correspondent,
- CONGRUENCES RECTILIGNES.
- .......... Page(s) .......... 441
- .......... Page(s) .......... 442
- .......... Page(s) .......... 443-444
- .......... Page(s) .......... 470, 471
- .......... Page(s) .......... 62-65
- .......... Page(s) .......... 139
- .......... Page(s) .......... 156
- .......... Page(s) .......... 477, 483
- .......... Page(s) .......... 150
- .......... Page(s) .......... 151
- .......... Page(s) .......... 437
- COORDONNEES POLAIRES sur une surface
- .......... Page(s) .......... 501
- .......... Page(s) .......... 23-26, 916
- .......... Page(s) .......... 27
- COORDONNEES TANGENTIELLES SPECIALES.
- .......... Page(s) .......... 163
- .......... Page(s) .......... 164-165
- .......... Page(s) .......... 166, 167
- CORRESPONDANCE AVEC ORTHOGONALITE DES ELEMENTS,
- Problème des éléments rectangulaires,
- Correspondance d'une surface et d'un plan avec orthogonalité des éléments linéaires,
- .......... Page(s) .......... 426, 432
- .......... Page(s) .......... 427
- .......... Page(s) .......... 428
- Propriétés géométriques relatives à un cas spécial,
- COUPLES DE SURFACES APPLICABLES,
- .......... Page(s) .......... 66
- .......... Page(s) .......... 8, 38, 739
- COURBES GAUCHES.
- .......... Page(s) .......... 4
- .......... Page(s) .......... 35
- .......... Page(s) .......... 36
- .......... Page(s) .......... 219, 220
- .......... Page(s) .......... 531
- COURBURE GEODESIQUE,
- Définitions diverses,
- Son expression au moyen des paramètres différentiels,
- COURBURE NORMALE.
- .......... Page(s) .......... 505
- .......... Page(s) .......... 506
- .......... Page(s) .......... 497
- .......... Page(s) .......... 498
- Expression de la courbure totale au moyen du second paramètre différentiel,
- CYCLIDES GENERALES.
- .......... Page(s) .......... 437
- .......... Page(s) .......... 444
- D
- DEFORMATION DE L'HYPERBOLOIDE DE REVOLUTION. Théorème de Laguerre,
- DEFORMATION DES SURFACES. Réduction nouvelle du problème duc à M. Weingarten,
- DEFORMATION DES SURFACES GAUCHES,
- Surfaces gauches admettant un élément linéaire donné,
- Déformer une surface gauche de telle manière que l'une de ses courbes devienne plane,
- ou rectiligne,
- ou asymptotique,
- ou ligne de courbure,
- Déformation des surfaces gauches étudiée par la méthode cinématique,
- DEFORMATION INFINIMENT PETITE.
- Première solution,
- Théorème de Ribaucour,
- Deuxième solution,
- Les douze surfaces qui se présentent dans l'étude de la déformation infiniment petite,
- Les trois réseaux I, II, III sur ces douze surfaces,
- Déformation infiniment petite des surfaces homographiques ou corrélatives,
- Application de la théorie générale de la déformation infiniment petite à la solution du problème de la déformation finie,
Note XI - DEFORMATION INFINIMENT PETITE du paraboloïde,
- d'une surface du second degré,
- d'une sphère,
- d'une surface à courbure constante,
- d'une surface minima,
- DEPLACEMENT A UN PARAMETRE, formules d'Euler exprimant les neuf cosinus en fonction de trois angles,.......... Page(s) .......... 1
- .......... Page(s) .......... 10
- .......... Page(s) .......... 40
- .......... Page(s) .......... 41-46
- .......... Page(s) .......... 55
- .......... Page(s) .......... 57
- .......... Page(s) .......... 58
- .......... Page(s) .......... 59-61
- .......... Page(s) .......... 32
- DEPLACEMENTS FINIS. Leur représentation analytique et géométrique. Leur composition,
Note V. - DETERMINATION des surfaces admettant l'élément linéaire, où a, b, c sont des constantes,
- .......... Page(s) .......... 12
- DEVELOPPEE D'UNE SURFACE,
- Lignes asymptotiques,
- Tableau de formules se rapportant aux deux nappes,
- Relations entre les deux nappes, propriétés cinématiques, paraboloïde des huit droites,
- DEVELOPPEE MOYENNE d'une surface,
- DIRECTRICE ET MODULE d'une déformation infiniment petite,
- .......... Page(s) .......... 526, 536, 537
- Son expression approchée,
- Applications,
- .......... Page(s) .......... 447
- .......... Page(s) .......... 448, 449
- Développables formées avec les normales,
- DYNAMIQUE DES MOUVEMENTS DANS LE PLAN.
- .......... Page(s) .......... 538
- .......... Page(s) .......... 538-510
- E
- ELEMENT LISEAIRE analogue à celui des surfaces réglées,
- ELEMENT LINEAIRE des surfaces gauches. Surfaces imaginaires,
- ELEMENT LINEAIRE HARMONIQUE ou de Liouville,
- Lignes géodésiques,
- .......... Page(s) .......... 526-529, 587-588
- Théorèmes de Chasles et de Graves,
- Sur une sphère,
- .......... Page(s) .......... 504
- .......... Page(s) .......... 472
- .......... Page(s) .......... 472
- .......... Page(s) .......... 473
- .......... Page(s) .......... 474
- .......... Page(s) .......... 451, 453, 475
- .......... Page(s) .......... 172
- EQUATION,
- .......... Page(s) .......... 368
- .......... Page(s) .......... 369-374
- .......... Page(s) .......... 357
- .......... Page(s) .......... 367
- EQUATION AUX DERIVEES PARTIELLES de Liouville,
- EQUATION AUX DERIVEES PARTIELLES définissant les surfaces qui admettent un élément linéaire donné,
- EQUATION AUX DERIVEES PRTIELLES DU SECOND ORDRE intégrée par Bonnet,
- EQUATION AUXILIAIRE. Sa définition, son emploi.
Note XI. - EQUATION DIFFERENTIELLE PARTICULIERE, qui se rencontre dans diverses théories,
- .......... Page(s) .......... 405
- Extension des méthodes de Monge et d'Ampère,
Note X. - .......... Page(s) .......... 406
- .......... Page(s) .......... 407
- .......... Page(s) .......... 410-412
- .......... Page(s) .......... 16
- .......... Page(s) .......... 18
- .......... Page(s) .......... 47-54
- .......... Page(s) .......... 344-356
- .......... Page(s) .......... 354
- .......... Page(s) .......... 364, 362
- Généralisation de toutes ces propriétés pour un système d'équations simultanées,
- EQUATION DIFFERENTIELLE D'EULER. Addition des intégrales elliptiques,
- .......... Page(s) .......... 373
- .......... Page(s) .......... 374
- .......... Page(s) .......... 375
- .......... Page(s) .......... 353
- .......... Page(s) .......... 464
- .......... Page(s) .......... 387
- .......... Page(s) .......... 329, 387
- .......... Page(s) .......... 387, 388
- .......... Page(s) .......... 389
- .......... Page(s) .......... 390, 392, 393
- .......... Page(s) .......... 391-396
- .......... Page(s) .......... 396
- EQUATION LINEAIRE DU SECOND ORDRE comprenant, comme ces particulier, l'équation de Lamé, note du no 271
- EQUATIONS LINEAIRES DU SECOND ORDRE, théorèmes de Sturm,
- .......... Page(s) .......... 413
- .......... Page(s) .......... 415
- .......... Page(s) .......... 416
- EQUATIONS LINEAIRES SIMULTANEES aux dérivées partielles du second ordre,
- Extension de la méthode de Laplace,
- Systèmes particuliers,
- .......... Page(s) .......... 403-405
- .......... Page(s) .......... 484
- .......... Page(s) .......... 485
- .......... Page(s) .......... 486
- .......... Page(s) .......... 487
- .......... Page(s) .......... 488
- .......... Page(s) .......... 489
- .......... Page(s) .......... 490
- .......... Page(s) .......... 492, 493
- .......... Page(s) .......... 493
- .......... Page(s) .......... 397
- .......... Page(s) .......... 398, 399
- .......... Page(s) .......... 400
- Généralisation de la théorie des expressions (m, n),
- F
- FAMILLES DE LAME. Définition,
- Condition nécessaire et suffisante pour qu'une famille de surfaces soit une famille de Lamé,
- Surfaces infiniment voisines d'une surface donnée qui peuvent faire partie avec elle d'une même famille de Lamé.
Note XI. - FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE sur une surface,
- .......... Page(s) .......... 413
- .......... Page(s) .......... 414
- .......... Page(s) .......... 121, 504, 1080
- FORMES QUADRATIQUES DE DIFFERENTIELLES,
- Transformation remarquable due à M. Beltrami,
- Lignes géodésiques d'une forme quadratique,
- FORMULES DE GAUSS (employées dans les Disquisitiones),
- Formules qui s'en déduisent et tiennent lieu de celles de M. Codazzi,
- Lignes de courbure,
- Relations entre les coordonnées rectangulaires x, y, z, les cosinus directeurs de la normale c, c', c" et les déterminants D, D', D",
- .......... Page(s) .......... 510
- .......... Page(s) .......... 27, 963
- .......... Page(s) .......... 495
- .......... Page(s) .......... 495
- .......... Page(s) .......... 496
- .......... Page(s) .......... 496
- .......... Page(s) .......... 499
- .......... Page(s) .......... 500
- .......... Page(s) .......... 507, 508
- FORMULES DE M. LELIEUVRE,
- Généralisation de ces formules,
- .......... Page(s) .......... 4
- G
- GENERALISATION DU THEOREME DES PROJECTIONS,
- .......... Page(s) .......... 514, 515
- .......... Page(s) .......... 516, 521
- .......... Page(s) .......... 442, 462, 586
- GEODESIQUES de la surface pseudosphérique,
- Distance géodésique sur la pseudosphère,
- Des surfances à courbure constante en général,
- GEODESIQUES DES SURFACES DE REVOLUTION,
- Equation de Clairaut.
- GEODESIQUES (Détermination des),
- Intégrales algébriques et entières,
- Intégrales linéaires, théorème de M. Massieu,
- Cas où il y a, à la fois, une intégrale du premier et une intégrale du second degré,
- .......... Page(s) .......... 530
- GEODESIQUES dans la Géométrie Cayleyenne,
- GEODESQUE (Segment de) comparé aux segments infiniment voisins,
- théorème de Jacobi,
- .......... Page(s) .......... 368
- GEODESIQUES, théorèmes de M. Bonnet relatifs au plus court chemin,
- GEOMETRIE CAYLEYENNE, Angles et distances,
- Elément linéaire de l'espace,
- Angle de deux directions,
- Lignes géodésiques
- Lignes de courbure,
- Généralisation des surfaces minima,
- Mode de transformation qui rattache la Géométrie de Cayley à la Géométrie euclidienne,
- Elément linéaire des surfaces réglées dans la Géométrie Cayleyenne,
Note IX - .......... Page(s) .......... 157, 168
- H
- .......... Page(s) .......... 6
- .......... Page(s) .......... 75, 76
- .......... Page(s) .......... 68
- I
- .......... Page(s) .......... 5
- INFINIMENT PETITS relatifs aux courbes et aux lignes géodésiques,
- .......... Page(s) .......... 25
- INTEGRALES D'UNE FORME DETERMINEE DU PROBLEME DES GEODESIQUES. Intégrales ne contenant que p et q,
- Intégrales relatives à l'élément linéaire,
- .......... Page(s) .......... 367
- INTEGRALES HOMOGENES ET DE DEGRE SUPERIEUR du problème des Géodésiques,
- Intégrales décomposées en facteurs,
- Intégrales linéaires et fractionnaires,
- Intégrales à deux facteurs,
- INTEGRALES HOMOGENES QUADRATIQUES du problème des géodésiques,
- Formes correspondantes de l'élément linéaire, forme de Liouville,
- de M. Lie,
- Théorème général,
- .......... Page(s) .......... 327, 330
- .......... Page(s) .......... 328, 329
- .......... Page(s) .......... 365, 366
- INVARIANTS OU PARAMETRES DIFFERENTIELS.
- Leurs applications,
- Opérations sur ces paramètres,
- Leur calcul pour les fonctions les plus simples,
- Expression de la courbure totale de la surface au moyen du second paramètre différentiel,
- .......... Page(s) .......... 174
- INVERSION COMPOSEE,
- L
- .......... Page(s) .......... 178
- .......... Page(s) .......... 109, 110, 114
- .......... Page(s) .......... 111
- .......... Page(s) .......... 112, 113
- LIGNES ASYMPTOTIQUES. Propriétés relatives à la déformation,
- Déformation lorsqu'on prend comme variables les paramètres des deux familles de lignes asymptotiques,
- Surfaces applicables de telle manière que les lignes asymptotiques de l'une des deux familles ou des deux familles soient des courbes correspondantes,
- LIGNES ASYMPTOTIQUES des surfaces gauches. Théorème de M. Paul Serret,
- LIGNES ASYMPTOTIQUES D'UNE CLASSE DE SURFACES comprenant comme cas particulier la surface des ondes. Relations entre les rayons de courbure principaux et les normales,
Note VIII - .......... Page(s) .......... 517
- .......... Page(s) .......... 138, 139
- .......... Page(s) .......... 141, 142
- .......... Page(s) .......... 143, 144
- .......... Page(s) .......... 158
- .......... Page(s) .......... 146
- .......... Page(s) .......... 147
- .......... Page(s) .......... 441
- .......... Page(s) .......... 479
- .......... Page(s) .......... 197
- des surfaces gauches,
- .......... Page(s) .......... 140
- .......... Page(s) .......... 145, 154
- LIGNES DE COURBURE se correspondant sur les deux nappes de la développée. Théorème de Ribaucour,
- LIGNES DE COURBURE DE LA SURFACE DES ONDES. Leur détermination quand la surface diffère peu d'un cylindre ou d'une sphère,
Note VIII - .......... Page(s) .......... 525, 526, 536
- LIGNE DE STRICTION d'une surface gauche,
- Propriétés nouvelles,
- LONGUEUR REDUITE d'un segment de geodésique,
- M
- .......... Page(s) .......... 203
- .......... Page(s) .......... 330
- .......... Page(s) .......... 358, 359
- .......... Page(s) .......... 176
- .......... Page(s) .......... 177
- MOUVEMENTS DANS L'ESPACE. Familles de trajectoires pour lesquelles il y a un potentiel des vitesses,
- Propriété de minimum relative à une intégrale triple,
- MOUVEMENTS PLANS.
- La solution de chaque problème de Mécanique dans le plan permet de déterminer une infinité de systèmes orthogonaux dont fera partie une courbe plane qualconque,
- MOUVEMENTS PLANS.
- Trajectoires pour lesquelles la constante des forces vives n'a pas la même valeur,
- Propriétés de minimum relatives à des intégrales doubles et triples,
- O
- OMBILICS. Forme des lignes de courbure dans le voisinage d'un ombilic. Ombilics de la surface des ondes,
Note VII. - .......... Page(s) .......... 454
- .......... Page(s) .......... 428
- Surface des ondes,
Note VIII. - .......... Page(s) .......... 233
- .......... Page(s) .......... 126
- P
- PARAMETRE DE DISTRIBUTION d'une surface gauche,
- .......... Page(s) .......... 531, 672
- Paramètres différentiels,
- Angle de deux courbes au moyen de ces pramètres,
- L'élément linéaire de la surface exprimé sous forme invariante au moyen des paramètres différentiels,
- PARAMETRE DIFFERENTIEL DU SECOND ORDRE,
- Application du théorème de Green
- PERSPECTIVES des lignes asymptotiques. Elles forment un réseau plan à invariants ponctuels égaux,
- PLUS COURT CHEMIN SUR UNE SURFACE,
- .......... Page(s) .......... 454
- .......... Page(s) .......... 312
- .......... Page(s) .......... 244
- .......... Page(s) .......... 504, 510
- .......... Page(s) .......... 546
- dans les mouvements sur une surface,
- PROBLEME DE CAUHY,
- PROBLEME DE M. DINI relatif la représentation géodésique,
- PROBLEMES DU CALCUL DES VARIATIONS qui conduisent à une même équation différentielle du second ordre,
- Application aux problèmes de MM. Beltrami et Dini,
- PROBLEME GENERAL DE LA DYNAMIQUE,
- Equations de Lagrange et d'Hamilton,
- Définition d'une famille de solutions,
- Familles orthogonales pour lesquelles il y a un potentiel des vitesses,
- Expression de la force vive due à M. Lipschitz,
- Action,
- Le principe de la moindre action dans toute sa généralité,
- .......... Page(s) .......... 281
- PROBLEMES relatifs à la déformation d'une surface,
- Déformer une surface de telle manière qu'une de ses courbes prenne une forme donnée, etc.,
- PROJECTION STEREOGRAPHIQUE de la sphère,
- .......... Page(s) .......... 66, 78
- R
- .......... Page(s) .......... 335, 341, 342
- .......... Page(s) .......... 513
- .......... Page(s) .......... 531, 532, 533
- .......... Page(s) .......... 532, 533, 537
- .......... Page(s) .......... 451-453
- .......... Page(s) .......... 452, 453
- .......... Page(s) .......... 454
- .......... Page(s) .......... 450
- .......... Page(s) .......... 451-453
- RELATIONS ENTRE LES SIX ELEMENTS D'UN TRIANGLE GEODESIQUE,
- Cas des surfaces à courbure constante,
- Les surfaces applicables sur les surfaces de révolution sont les seules pour lesquelles il y ait une relation entre les six éléments,
- .......... Page(s) .......... 422-424
- .......... Page(s) .......... 119
- .......... Page(s) .......... 121, 122
- .......... Page(s) .......... 128
- .......... Page(s) .......... 132
- .......... Page(s) .......... 133-135
- .......... Page(s) .......... 136
- REPRESENTATIONS CONFORMES sur le plan des surfaces à courbure constante,
- .......... Page(s) .......... 202
- .......... Page(s) .......... 214
- REPRESENTATION GEODESIQUE DE DEUX SURFACES L'UNE SUR L'AUTRE,
- Problème de M.Beltrami,
- REPRESENTATION GEODESIQUE SUR UN PLAN,
- Théorème de Ribaucour,
- REPRESENTATION SPHERIQUE.
- Solution complète du problème,
- Emploi des variables, , ,
- Raprochement avec le problème des éléments rectangulaires,
- Transformation de M. Lie,
- Développements analytiques,
- REPRESENTATION SPHERIQUE.
- Rapports avec la théorie du roulement et de la déformation,
- REPRESENTATION SPHERIQUE des lignes asymptotiques,
- .......... Page(s) .......... 509
- .......... Page(s) .......... 202
- .......... Page(s) .......... 205, 208
- RESEAUX CONJUGUES formés de géodésiques, surfaces de M.Voss,
- Surfaces et congruences de M. Guichard,
- RESEAUX CONJUGUES pour lesquels les invariants sont égaux. Propriétés géométriques,
- .......... Page(s) .......... 397
- .......... Page(s) .......... 371
- ROULEMENT DE DEUX SURFACES l'une sur l'autre,
- Etude analytique,
- Tout mouvement particulier se réduit au roulement de deux surfaces réglées applicables l'une sur l'autre,
- Cas où ces surfaces réglées deviennent développables,
- Système conjugué commun,
- Théroèmes de M. Koenigs relatifs à ce système conjugué,
- Réseaux formés des courbes pour lesquelles les courbures normales sont égales sur les deux surfaces,
- Formules relatives au roulement,
- .......... Page(s) .......... 27
- S
- .......... Page(s) .......... 364
- .......... Page(s) .......... 330-333
- .......... Page(s) .......... 337-340
- Extension de la méthode,
- .......... Page(s) .......... 378-379
- .......... Page(s) .......... 380-381
- .......... Page(s) .......... 382
- .......... Page(s) .......... 385, 386
- SURFACES A COURBURE CONSTANTE. Théorème de Bonnet rattachant les surfaces dont la courbure moyenne est constante à celles dont la courbure totale est constante,
- SURFACES A COURBURE CONSTANTE NEGATIVE,
- Propriétés géométriques,
- Transformation de M. Lie,
- SURFACES A COURBURE CONSTANTE NEGATIVE particulières,
- Surfaces d'Enneper à lignes de courbure sphériques,
- .......... Page(s) .......... 433, 775-776
- SURFACES A COURBURE TOTALE CONSTANTE considérées comme développées d'une surface W,
- .......... Page(s) .......... 210
- .......... Page(s) .......... 211, 213-215
- .......... Page(s) .......... 212
- .......... Page(s) .......... 88
- SURFACES A LIGNES DE COURBURE PLANES,
- Théorème et mode de génération,
- Lignes de courbure circulaires, albégriques,
- toutes égales,
- Traduction analytique de la construction géométrique,
- Enveloppes de sphèrs,
- .......... Page(s) .......... 102-105
- SURFACES A LIGNES DE COURBURE SPHERIQUES,
- Recherche directe, Théorème de M. Blutel,
- Comment on peut les dériver des surfaces à lignes de courbure planes,
- Relations géométriques entre les lignes de courbure sphériques,
- .......... Page(s) .......... 483, 1032-1038
- SURFACES APPLICABLES. Reconnaître si deux surfaces sont applicables,
- SURFACES APPLICABLES, les deux points correspondants étant à une distance invariable,
- SURFACES APPLICABLES sur la surface de révolution dont la méridienne est la tractrice,
- SURFACES APPLICABLES. Nouvelle méthode de M. Weingarten,
- Etude du cas où l'élément linéaire a la forme,
- SURFACES APPLICABLES sur des paraboloïdes particuliers,
- SURFACES APPLICABLES sur les développées des surfaces minima,
- Sur le paraboloïde de révolution,
- Détermination directe,
- Construction géométrique,
- .......... Page(s) .......... 460-463
- .......... Page(s) .......... 94
- SURFACES de même représentation sphérique que les surfaces minima,
- .......... Page(s) .......... 480
- .......... Page(s) .......... 73
- .......... Page(s) .......... 74
- .......... Page(s) .......... 76
- .......... Page(s) .......... 77
- .......... Page(s) .......... 66
- Pour lesquelles les géodésiques sont toujours fermées,
- SURFACE DES CENTRES DE COURBURE. Propriétés générales,
- SURFACE DES ONDES DE FRESNEL. Lignes de courbure et lignes asymptotiques.
Note VIII. - .......... Page(s) .......... 81-84, 218
- .......... Page(s) .......... 69
- .......... Page(s) .......... 70, 71
- .......... Page(s) .......... 72
- SURFACES dont les lignes de courbure sont des cercles géodésiques,
- .......... Page(s) .......... 443
- .......... Page(s) .......... 456, 457, 458, 467, 468
- .......... Page(s) .......... 121, 122
- Lignes de courbure,
- SURFACES ENGENDREES PAR DES CERCLES. Propriété nouvelle de ces surfaces,
Note IX. - .......... Page(s) .......... 79
- .......... Page(s) .......... 314, 315
- SURFACES GAUCHES applicables l'une sur l'autre, de telle manière que les génératrices correspondantes soient parallèles,
- SURFACES GAUCHES APPLICABLES SUR DES SURFACES GAUCHES sans que les génératrices rectilignes coïncident,
- .......... Page(s) .......... 200
- .......... Page(s) .......... 459
- .......... Page(s) .......... 465, 466
- .......... Page(s) .......... 465
- .......... Page(s) .......... 429
- .......... Page(s) .......... 434
- .......... Page(s) .......... 435, 436
- .......... Page(s) .......... 437
- SURFACES ISOTHERMIQUES à lignes de courbure planes. Développement complet de la solution,
- SURFACES (M), telles que deux familles de lignes conjuguées admettent pour tangentes des droites qui soient en mémo temps tangentes à une surface du second degré. Leur détermination se ramène à l'intégration de l'équation aux dérivées partielles, qui se rencontre dans la théorie des surfaces à courbure constante,
- .......... Page(s) .......... 218
- .......... Page(s) .......... 219, 220
- SURFACES MINIMA. Propriété de minimum relative à une intégrale triple,
- .......... Page(s) .......... 252-254
- .......... Page(s) .......... 255
- .......... Page(s) .......... 253
- .......... Page(s) .......... 253
- .......... Page(s) .......... 257
- .......... Page(s) .......... 206
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- .......... Page(s) .......... 283
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- .......... Page(s) .......... 175
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- .......... Page(s) .......... 251
- .......... Page(s) .......... 261
- .......... Page(s) .......... 261-265
- .......... Page(s) .......... 267
- .......... Page(s) .......... 268
- .......... Page(s) .......... 269
- .......... Page(s) .......... 270-272
- .......... Page(s) .......... 273
- .......... Page(s) .......... 191, 222
- .......... Page(s) .......... 190, 221, 233
- .......... Page(s) .......... 85-87
- .......... Page(s) .......... 87
- SURFACE MOYENNE d'une congruence,
- Congruences dont les développables interceptent sur la surface moyenne, un réseau conjugué,
- Congruences dont la surface moyenne est un plan,
- .......... Page(s) .......... 231, 232
- .......... Page(s) .......... 12
- SURFACES pour lesquelles les lignes de courbure de l'une des familles sont dans des plans parallèles,
- SURFACE PSEUDOSPHERIQUE. Sa représentation sur le plan,
- Transformations qui conservent l'élément linéaire,
- Images des géodésiques de la surface,
- SURFACE qui se déforme en entraînant des droites ou des sphères,
- Théorèmes de M.Beltrami,
- Surface qui se déforme en entraînant des courbes situées dans ses plans tangents,
- Cas particulier où ces courbes sont des cercles,
- .......... Page(s) .......... 67-72
- Surfaces réglées applicables sur des surfaces de révolution,
- Surfaces réglées pour lesquelles les rayons de courbure principaux sont fonction l'un de l'autre,
- .......... Page(s) .......... 89-90, 621
- .......... Page(s) .......... 201
- .......... Page(s) .......... 418
- SURFACES W. Ce sont celles pour lesquelles les rayons de courbure principaux sont fonctions l'un de l'autre,
- Premier théorème de M. Weingarten,
- Second théorème du même auteur,
- Démonstration intuitive,
- Cas particuliers,
- SURFACES W. Théorème d'Halphen reliant les deux nappes de la développée,
- Autre propriété des surfaces W établie récemment par M. Weingarten,
- Troisième propriété caractéristique due à Ribaucour,
- Correspondance entre des lignes de ces surfaces et des lignes tracées sur leurs développées,
- .......... Page(s) .......... 84, 98, 99
- .......... Page(s) .......... 91
- .......... Page(s) .......... 95, 97
- .......... Page(s) .......... 475
- .......... Page(s) .......... 100-101
- .......... Page(s) .......... 477, 478, 481, 482
- Systèmes cycliques rattachés à la déformation des surfaces,
- qui se rencontrent dans l'étude des surfaces à courbure constante,
- Propriétés géométriques,
- SYSTEMES DE COORDONNEES CURVILIGNES A LIGNES CONJUGUEES,
- .......... Page(s) .......... 518, 519, 520
- .......... Page(s) .......... 522
- .......... Page(s) .......... 519, 520, 523
- .......... Page(s) .......... 391
- .......... Page(s) .......... 13, 40-43
- SYSTEME ISOTHERME FORME D'ELLIPSES ET D'HYPERBOLES GEODESIQUES. Théorème de M. Dini,
- SYSTEMES ORTHOGONAUX admettant une famille de lignes de courbure planes,
- .......... Page(s) .......... 115-127
- .......... Page(s) .......... 124
- .......... Page(s) .......... 125-127
- .......... Page(s) .......... 127
- .......... Page(s) .......... 541-543, 548
- .......... Page(s) .......... 147-149
- .......... Page(s) .......... 154
- SYSTEMES TRIPLES ORTHOGONAUX admettant même représentation sphérique qu'un système donné,
- Théorème de Combescure,
- Application,
- Systèmes en nombre illimité dérivés d'un système donné,
- .......... Page(s) .......... 513
- SYSTEMES TRIPLES ORTHOGONAUX pour lesquels toutes les lignes de courbure sont planes,
- pour lesquels une seule famille de lignes de courbure est composée de courbes planes,
- ou sphériques,
- .......... Page(s) .......... 469
- T
- .......... Page(s) .......... 504
- à la développée d'une surface à ses deux nappes,
- TABLEAUX relatifs à la déformation infiniment petite et aux douze surfaces,
- TANGENTES CONJUGUEES. Généralisation du théorème de Dupin,
- THEOREME DE GAUSS relatif aux triangles géodésiques infiniment petits,
- THEOREME DE GREEN sur une surface,
- Equation où figurent la courbure totale de la surface et la courbure géodésique,
- .......... Page(s) .......... 509
- THEOREME DE M. TISSOT relatif à la correspondance entre deux surfaces,
- .......... Page(s) .......... 512
- .......... Page(s) .......... 36, 39
- Signe de la torsion,
Note IV. - Recherches récentes sur les courbes à torsion constante,
même Note. - .......... Page(s) .......... 507, 509
- .......... Page(s) .......... 119, 122
- .......... Page(s) .......... 204, 209
- .......... Page(s) .......... 93
- .......... Page(s) .......... 523
- .......... Page(s) .......... 438
- .......... Page(s) .......... 170
- .......... Page(s) .......... 171
- .......... Page(s) .......... 172
- TRANSFORMATION APSIDALE,
Notes VII et VIII. - TRANSFORMATIONS DE CONTACT. Généralités sur certaines transformations,
- .......... Page(s) .......... 157, 168, 978
- .......... Page(s) .......... 402
- TRANSFORMATIONS DES SURFACES A COURBURE CONSTANTE,
- Méthode de M. Bianchi,
- Propositions antérieures de Ribaucour,
- Traduction analytique,
- Transformation de M. Bäcklund,
- Développement sur les applications répétées de la transformation de M. Bianchi,
- TRANSFORMATIONS GENERALES des équations aux dérivées partielles considérées par M. Bäcklund,
- Application au cas particulier où deux surfaces doivent se correspondre de telle manière que la figure formée par les deux points correspondants et les deux plans tangents en ces points soit invariable de forme,
- TRIANGLES GEODESIQUES. Théorème de Gauss,
- Extension de ce théorème,
- .......... Page(s) .......... 3
- .......... Page(s) .......... 3
- .......... Page(s) .......... 3
- TABLE DES NOMS D'AUTEURS PAR ORDRE ALPHABETIQUE (1).
- .......... Page(s) .......... 464
- .......... Page(s) .......... 464, 468, 469
- ADAM (P.),
- .......... Page(s) .......... 180, 367
- ANDOYER,
- .......... Page(s) .......... 349, 354, 361, 367, 1046, 1075
- B
- BÆCKLUND (A.-V.),
- BARONI (E.),
- .......... Page(s) .......... 180, 183, 209, 511, 531, 571, 572, 575, 576, 577, 597-600, 603, 604, 607, 637, 672, 674, 676, 677, 679, 680, 682, 728, 730, 732, 733, 735, 740, 750, 758, 759, 795, 799, 800, 801, 855
- .......... Page(s) .......... 6, 8, 11, 38, 40, 142, 343, 373, 377, 441, 499, 505, 592, 627, 637, 641, 643, 690, 739
- BIANCHI (L.),
- BIOCHE,
- .......... Page(s) .......... 182, 229, 245
- BLUTEL,
- .......... Page(s) .......... 358
- BOLYAI,
- .......... Page(s) .......... 8, 65, 72, 163, 171, 181, 202, 206, 208, 210, 215, 216, 245, 251, 262, 266, 305, 433, 490, 492, 499, 505, 507, 509, 510-513, 610, 613, 619, 624, 627, 630, 631, 633, 638, 640, 642, 643, 647, 648, 655, 682, 690, 697, 698, 708, 723, 724, 728, 735, 737, 746, 771, 775, 776, 724, 728, 735, 737, 746, 771, 775, 776, 972, 1008, 1009, 1086
- .......... Page(s) .......... 175
- .......... Page(s) .......... 140
- .......... Page(s) .......... 74, 87, 90, 205, 208, 433, 434, 592, 593, 610, 619, 698, 704, 708, 728, 735
- .......... Page(s) .......... 97, 102
- BRIOT et BOUQUET,
VII, VII - .......... Page(s) .......... 499
- C
- CARONNET,
- .......... Page(s) .......... 180, 181, 249, 251, 655
- .......... Page(s) .......... 30, 41, 130, 245, 248, 251, 367, 450, 629, 709, 717, 718, 853
- .......... Page(s) .......... 134, 140, 437, 462, 836, 839, 840, 841, 842, 846
- .......... Page(s) .......... 126, 178, 249, 459, 460, 465, 589, 730, 909
- .......... Page(s) .......... 132, 429, 434, 633, 660, 666, 667
- CLAIRAUT,
- .......... Page(s) .......... 484, 499, 500, 501, 507, 508, 698, 700-702, 741, 749, 927, 930, 1009, 1014
- .......... Page(s) .......... 40, 437, 499, 972, 1054
- COSSERAT (E.),
- .......... Page(s) .......... 88
- DELASSUS,
I. - .......... Page(s) .......... 88
- DEMOULIN,
- .......... Page(s) .......... 126, 450, 152, 156, 450, 561
- DOBRINER,
- .......... Page(s) .......... 180, 587, 594, 597, 600-604, 608, 609, 740, 773, 874
- .......... Page(s) .......... 128, 295, 551
- .......... Page(s) .......... 83, 103, 147, 441, 444, 450, 451, 454, 455, 481, 759, 841, 851, 1047
- .......... Page(s) .......... 188
- .......... Page(s) .......... 188, 205, 207, 234, 236, 251, 512, 720, 814, 819, 873, 1001, 1008, 1018
- EUCLIDE,
- .......... Page(s) .......... 1, 22, 27, 44, 112, 113, 119, 175, 176, 344, 346, 301, 392, 414, 415, 416, 505, 585, 605, 963
- F
- FABRY,
IV - FOUCHE,
IV - FRENET,
IV, IV - FRESNEL,
VII, VIII
- .......... Page(s) .......... 30
- .......... Page(s) .......... 30, 62, 63, 119, 136, 142, 313, 271, 307, 408, 463, 497, 498-499, 503, 514, 523-525, 535, 550, 575, 577, 617, 641-643, 647, 648, 660-666, 972, 682, 687, 698, 700-703, 704, 793, 795, 842, 873, 1009
- .......... Page(s) .......... 57, 239, 244
- .......... Page(s) .......... 365, 302, 450
- .......... Page(s) .......... 112, 510
- .......... Page(s) .......... 136, 361, 1066, 1072, 1075, 1081
- GIRARD (Albert),
- GRAVES,
- GREEN,
- GUICHARD,
- .......... Page(s) .......... 234
- .......... Page(s) .......... 234, 368, 581, 763
- .......... Page(s) .......... 448, 537, 544, 546, 558, 562, 566, 570, 590
- .......... Page(s) .......... 262
- .......... Page(s) .......... 226, 232, 237, 238, 251, 253, 254
- .......... Page(s) .......... 21, 271, 414, 639, 1008, 1011, 1016
- .......... Page(s) .......... 368, 373, 377
- HODEL (J.),
- .......... Page(s) .......... 428
- .......... Page(s) .......... 121
- .......... Page(s) .......... 121, 373, 377, 413, 459, 462, 464, 533, 537, 539, 544, 556, 557, 559, 562, 564, 565, 568, 575, 583, 590, 591, 605, 612, 627
- .......... Page(s) .......... 94, 509, 814, 820, 1000, 1019
- JORDAN (C.),
- .......... Page(s) .......... 55
- .......... Page(s) .......... 55
- .......... Page(s) .......... 31, 262, 277, 680, 783, 791, 836
- .......... Page(s) .......... 91, 92, 95, 110, 317, 592, 875-878, 892, 935, 1006
- .......... Page(s) .......... 245
- KRONECKER,
- .......... Page(s) .......... 136, 408
- .......... Page(s) .......... 178
- .......... Page(s) .......... 178, 179, 187
- .......... Page(s) .......... 119, 127, 175-178, 180, 212, 261, 264, 310, 357, 366, 368, 370, 371, 541, 552, 557, 566, 571, 572, 585, 597
- .......... Page(s) .......... 170, 231, 425, 480, 493, 499, 510, 511, 620, 739, 758, 970, 1001
- .......... Page(s) .......... 119
- .......... Page(s) .......... 112, 122, 149, 271, 414, 415, 513, 551, 672, 698, 918, 971, 972, 1011, 1018, 1054
- .......... Page(s) .......... 509
- .......... Page(s) .......... 177, 178, 182, 194, 325, 330, 332, 333, 334, 337, 340, 343, 344, 351, 354, 365-367, 378, 379, 380-384, 387, 388, 393, 396, 397, 398, 400-403, 405, 417, 418, 987, 1021, 1042
- LECORNU,
- .......... Page(s) .......... 177, 178, 180, 182, 187, 194, 219, 615, 617, 660, 1070
- LELIEUVRE (M.),
- .......... Page(s) .......... 428, 450
- .......... Page(s) .......... 400, 418
- .......... Page(s) .......... 89, 90, 201, 610, 619
- .......... Page(s) .......... 83, 84, 112, 157, 168, 172, 182, 186, 208, 217-221, 224, 233, 235, 238, 239, 242, 244, 247, 251, 252, 257, 259, 260, 350, 417, 483, 594, 595, 600, 609, 621, 714, 764, 774, 775, 803, 808, 811, 813, 823, 827, 828, 880, 974, 976, 979, 980, 1006
- LINDELOF,
I - .......... Page(s) .......... 6, 413, 459, 460, 464, 467, 490, 514, 530, 569, 583, 587-589, 590, 593, 595, 602, 603, 609, 642, 643, 655, 690, 691, 726, 1078, 1080
- .......... Page(s) .......... 366
- .......... Page(s) .......... 518, 567, 568, 577
- LOBATSCHEFSKY,
- LYON,
IV
- .......... Page(s) .......... 441
- .......... Page(s) .......... 441, 448, 450, 559, 759
- MANGOLDT (von),
- .......... Page(s) .......... 10, 57, 159, 176, 755, 756
- MASSIEU,
- .......... Page(s) .......... 314
- .......... Page(s) .......... 400
- MERAY,
II - .......... Page(s) .......... 119, 120, 127
- .......... Page(s) .......... 176, 180, 490, 511
- .......... Page(s) .......... 203, 653, 666, 690, 708
- MOIGNO,
I - .......... Page(s) .......... 231
- .......... Page(s) .......... 10, 36, 73, 85, 176, 177-181, 183, 187, 203, 210, 218, 219, 514, 709, 718, 1031, 1038, 1078, 1089
- .......... Page(s) .......... 172, 343, 390, 391, 393, 396, 407, 409-411, 433, 437, 854, 855, 869, 886, 905, 985, 986, 993
- .......... Page(s) .......... 268
- .......... Page(s) .......... 268
- .......... Page(s) .......... 262
- .......... Page(s) .......... 415
- .......... Page(s) .......... 415, 1006
- .......... Page(s) .......... 261, 264, 272, 310
- .......... Page(s) .......... 139, 311, 448
- POINCARE (H.),
- .......... Page(s) .......... 32, 33, 504
- .......... Page(s) .......... 177, 180, 189, 354, 355, 356, 361, 362, 363, 367, 468
- .......... Page(s) .......... 6
- R
- RAFFY,
- .......... Page(s) .......... 58, 172, 173, 260, 446, 455, 456, 467, 473, 474, 477, 478, 483, 499, 510, 638, 755-758, 760, 762, 765, 804, 854, 855, 861-864, 891, 898, 934, 940, 946, 950, 954, 971, 972, 998, 1060, 1075
- .......... Page(s) .......... 16-20, 23, 26, 34, 54, 93, 321, 346, 685, 735, 743, 808, 816, 824, 827, 1004, 1012, 1014
- RICHELOT,
- .......... Page(s) .......... 30, 128, 130, 132, 136, 204, 205, 209, 261-265, 269, 271, 278, 280, 288, 291, 294, 299, 301, 303, 307, 356, 358, 360, 362, 363, 364, 393, 417, 468, 551, 552
- .......... Page(s) .......... 197
- .......... Page(s) .......... 27, 141, 142, 184, 426, 433, 436, 701, 742, 747, 841, 948, 1069, 1071, 1075
- ROGER,
- .......... Page(s) .......... 93, 998, 1000, 1006, 1027
- .......... Page(s) .......... 234
- .......... Page(s) .......... 234, 818
- .......... Page(s) .......... 180, 200
- .......... Page(s) .......... 232
- .......... Page(s) .......... 57
- .......... Page(s) .......... 128-132, 134, 135, 183, 210-312, 217, 245, 246, 247, 249, 251, 258, 261, 264, 265, 268, 270, 273, 274, 288, 295, 303, 783
- .......... Page(s) .......... 4, 36, 103, 140, 180, 258, 305, 740, 1033
- .......... Page(s) .......... 5, 735, 736
- .......... Page(s) .......... 231
- .......... Page(s) .......... 466
- .......... Page(s) .......... 57, 426
- STURM,
- .......... Page(s) .......... 265
- .......... Page(s) .......... 265
- TCHEBYCHEF,
- .......... Page(s) .......... 544, 554, 556, 561
- TISSOT,
- V-W
- VORETZSCH,
- VOSS,
- WÆLSCH,
- .......... Page(s) .......... 303
- .......... Page(s) .......... 126, 183, 188, 190, 192, 195, 205, 207, 209, 210, 214, 217, 218, 219, 227, 229, 230, 232, 261, 263-265, 266, 277, 280, 281, 302, 462
- .......... Page(s) .......... 205, 264, 435, 436, 528, 637, 666-668, 704, 721, 742, 745, 747, 750-751, 764, 766, 770, 771, 777, 778, 842, 855, 881, 1066, 1068, 1075, 1078-1080, 1082, 1089
- (1) Les chiffres arabes donnent les numéros des articles. Les Tomes I, II, III et IV finissent respectivement aux articles 310, 577, 851 et 1089. Los chiffres romains se rapportent aux Notes. Par exemple, la notation II, indique l'article 8 de la Note II.
- TABLE DES MATIERES DE LA QUATRIEME PARTIE.
- LIVRE VIII. DEFORMATION INFINIMENT PETITE ET REPRESENTATION SPHERIQUE.
- CHAPITRE I.
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- Enoncé précis du problème à résoudre. - Comment on pourrait entreprendre son étude par la méthode des séries. - Le problème de la déformation infiniment petite consiste dans la détermination des premiers termes de ces séries. - Ce que l'on appelle la directrice et le module de la déformation infiniment petite. - Couples de surfaces applicables l'une sur l'autre. - Rapports de la question proposée avec le problème dit des éléments rectangulaires. - Indication des travaux publics sur ces questions. - Première solution du problème : on est ramené à l'intégration d'une équation linéaire du second ordre - Interprétation géométrique. - Application au paraboloïde. - Raisonnement a priori montrant que la solution du problème peut être obtenue pour toute surface du second degré. - Développement de la solution pour le cas de la sphère. - Démonstration géométrique : la surface (S) qui correspond à une sphère par orthogonalité des éléments est la surface moyenne d'une congruence isotrope. - Equations qui déterminent cette surface moyenne. - Retour au cas général ; les caractéristiques de l'équation linéaire dont dépend la solution sont les lignes asymptotiques de la surface proposée.
- CHAPITRE II.
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- Introduction directe des lignes asymptotiques. - Réduction du problème à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles à invariants égaux ; ce qui montre qu'on pourra obtenir une suite illimitée de surfaces dont on connaîtra les lignes asymptotiques et pour lesquelles on saura résoudre le problème de la déformation infiniment petite. - Formules de M. Lelieuvre. - Leur démonstration directe. - Comment on peut en déduire, par une méthode rapide, la solution du problème de la déformation infiniment petite. - Applications de ces formules. - Propriété de la représentation sphérique des lignes asymptotiques qui montre que cette représentation sphérique ne saurait être choisie arbitrairement. - Théorème de M. Koenigs : les perspectives des lignes asymptotiques sur un plan quelconque déterminent un réseau plan (nécessairement conjugué comme tous les résaux plans) à invariants ponctules égaux. - Interprétation géométrique de l'égalité des invariants pour l'équation linéaire ponctuelle ou tangentielle relative à un réseau conjugué tracé sur une surface quelconque. - Elément linéaire d'une surface rapportée à ses lignes asymptotiques. - Démonstration nouvelle du théorème d'Enneper relatif à la torsion des lignes asymptotiques. - Application aux surfaces à courbure constante. - Quand on sait résoudre le problème de la déformation infiniment petite pour une telle surface, on sait le faire aussi pour toutes celles qui en dérivent par la transformation de M. Bianchi. - Formules analogues à celles de M. Lelieuvre quand les variables ont été choisies d'une manière quelconque. - La solution générale du problème de la déformation infiniment petite écrite avec des variables quelconques.
- CHAPITRE III.
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- Etant données deux surfaces (S) et (S) qui se correspondent avec orthogonalité des éléments linéaires, au réseau des lignes asymptotiques de chacune de ces surfaces correspond, sur l'autre, un réseau conjugué à invariants ponctuels égaux. - On déduit du premier couple deux nouvelles surfaces () et (A) qui se correspondent, elles aussi, avec orthogonalité des éléments linéaires. - Définition de () : c'est l'enveloppe des plans menés par tous les points de (S) perpendiculairement aux directrices de la déformation. - On sait résoudre le problème de la déformation infiniment petite pour ( ) lorsqu'on sait résoudre ce problème pour (S). - Les lignes a symptotiques se correspondent sur (S) et sur ( ). - Réciproque : théorème de M. Guichard. - Relation géométrique entre les deux nappes de la surface focale d'une congruence rectiligne, dans le cas où les lignes asymptotiques se correspondent sur ces deux nappes. - Propriétés qui rattachent la surface (A) à la surface (S1) : les plans tangents aux points correspondants sont parallèles et le système conjugué commun a ses invariants ponctuels égaux, sur les deux surfaces. - Réciproque : théorèmes de MM. Koenigs et Cosserat. - Les trois réseaux I, II, III formés par les lignes asymptotiques de (S), de (S) et de (A) sont harmoniques deux à deux. - Introduction de huit nouvelles surfaces qui, jointes aux quatre premières, forment un ensemble de douze surfaces que l'on peut grouper deux à deux de telle manière qu'elles se correspondent avec orthogonalité des éléments linéaires, ou bien par plans tangents parallèles, ou bien par polaires réciproques relativement à une sphère concentrique à l'origine, ou enfin comme focales d'une même congruence rectiligne sur lesquelles les lignes asymptotiques se correspondent. - Sur chacune de ces douze surfaces, les trois réseaux I, II, II déjà signalés sont, l'un formé des lignes asymptotiques, l'autre conjugué à invariants ponctuels égaux, le dernier enfin conjugué à invariant ponctuels égaux, le dernier enfin conjugué à invariants tangentiels égaux. - Quand deux surfaces se correspondent avec orthogonalité des éléments linéaires, le système conjugué commun a ses invariants tangentiels égaux. - Lorsque, sur une surface, un réseau conjugué a ses invariants ponctuels (ou tangentiels) égaux, le réseau conjugué qui lui est harmonique a ses invariants tangentiels (ou ponctuels) égaux.
- CHAPITRE IV.
- .......... Page(s) .......... 73
- Les six couples de surfaces qui se correspondent avec orthogonalité des éléments linéaires. - Théorème et construction de Ribaucour. - Quand on sait résoudre le problème de la déformation infiniment petite pour une surface donnée, on sait résoudre ce même problème pour toutes les surfaces homographiques et corrélatives. - Démonstration de ce théorème général pour les homographies qui conservent le plan de l'infini ; pour la transformation par polaires réciproques relative au paraboloïde défini par l'équation . - Ces deux cas particuliers entraînent le théorème général. - Définition de l'inversion composée : sa propriété fondamentale. - Quand on sait résoudre le problème de la déformation pour une surface (S), on sait aussi le résoudre pour toutes celles qui en dérivent par l'inversion composée. - L'inversion composée rattachée aux notions relatives aux formes quadratiques dont les coefficients sont constants.
- CHAPITRE V.
- .......... Page(s) .......... 87
- Etude du cas particulier où la surface (S), qui correspond à (S) avec orthogonalité des éléments linéaires, se réduit à un plan. - Ce que deviennent alors les douze surfaces. - Application à la question suivante : déterminer toutes les congruences rectilignes pour lesquelles la surface moyenne est un plan. - On détermine, parmi ces congruences rectilignes, celles qui sont formées des normales à une surface. - Etude du problème plus étendu : déterminer toutes les surfaces pour lesquelles les développables formées par les normales découpent, sur la développée moyenne, un réseau conjugué. - La solution de ce problème se ramène à la détermination de la déformation infiniment petite des surfaces minima. - Cette détermination se ramène d'ailleurs à l'intégration d'une équation linéaire harmonique. - C'est de la même équation aux dérivées partielles que dépend la détermination des surfaces ayant même représentation sphérique de leurs lignes de courbure que la surface minima adjointe à la proposée. - Comment on retrouve les surfaces minima dans l'étude de la déformation infiniment petite de la sphère. - Développement des calculs. - Déformation infiniment petite d'une surface à courbure constante négative. - L'une des douze surfaces devient alors une de ces surfaces, considérées en premier lieu par M. Voss, et sur lesquelles il y a un réseau conjugué exclusivement composé de lignes géodésiques. - Etude des développantes de ces surfaces. - Elles constituent l'une des nappes d'une congruence rectiligne pour laquelle les développables correspondent aux lignes de courbure sur les deux nappes de la surface focale. - Démonstration géométrique des théorèmes de M. Guichard, relatifs à ces surfaces. - Le Chapitre se termine par la démonstration d'un lemme dont il a été fait usage dans la démonstration précédente, et qui est susceptible de nombreuses applications à la théorie des congruences rectilignes.
- CHAPITRE VI.
- Roulement de deux surfaces
III - Rappel des formules données au Livre VII, Chapitre III. - Relations entre les quantités D, D', D" de Causes et les rotations p, q, r, p, q
, r
. - Roulement d'une surface (6) sur une surface applicable ( 1). - Formules données au Livre I ; formules complémentaires. - Comment on peut rattacher à la considération du roulement une nouvelle méthode de recherche des surfaces applicables sur une surface donnée. - Tout mouvement particulier contenu dans le déplacement général se ramène au roulement d'une surface réglée sur une surface de même nature et applicable sur la première. - Premier cas où ces surfaces réglées sont développables. - Extension de la notion de réciprocité relative aux tangentes conjuguées. - Second mouvement particulier dans lequel les surfaces réglées sont développables. - Système conjugué commun à ( ) et à (
) considéré par Ribaucour. - Théorèmes de M. Koenigs relatifs à ce système conjugué commun. - La théorie des systèmes cycliques et le théorème fondamental du n° 761 rattachés à la considération du déplacement étudié dans ce Chapitre. - Propriété relative aux congruences engendrées par des droites parallèles et pour lesquelles les développables se correspondent. - Propriétés diverses des différents systèmes cycliques que l'on peut rattacher au même déplacement. - Comment la connaissance d'un couple de surfaces applicables peut conduire à une infinité de couples de surfaces admettant la même représentation sphérique.
- CHAPITRE VII.
- .......... Page(s) .......... 137
- Rappel des formules établies au Livre IV, Chap. XV, et relatives au système orthogonal formé par les lignes de courbure. - Relation entre les deux équations, ponctuelle et tangentielle, relatives au système conjugué formé par ces lignes. - Détermination des surfaces admettant la même représentation sphérique qu'une surface donnée (). - Rappel de la première solution. - Théorème de Ribaucour qui montre que les surfaces cherchées admettent pour normales les cordes de contact d'une famille de sphères ayant leur centre sur la surface (). - Détermination des systèmes cycliques engendrés par des cercles normaux à (). - Propriétés géométriques relatives aux systèmes cycliques. - Propositions qui rattachent la théorie de la représentation sphérique à celle de la déformation des surfaces. - Détermination des systèmes cycliques déduite d'un couple de surfaces applicables. - Ce que deviennent les réseaux I, II, III du Chapitre III pour un couple de surfaces applicables ( ), ( ). - Définition nouvelle de la méthode de transformation introduite au n° 903 sous le nom d'inversion composée. - Les formules qui permettent de définir le roulement de () sur ( ). - Détermination de tous les systèmes triples orthogonaux pour lesquels une des familles est composée de surfaces à lignes de courbure planes dans un système.
- CHAPITRE VIII.
- .......... Page(s) .......... 169
- Emploi des coordonnées tangentielles , , . - Réduction du problème de la représentation sphérique à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du second ordre dont les invariants sont égaux. - Les caractéristiques de cette équation sont les lignes de courbure de la surface. - Rapprochement entre les deux surfaces qui conduisent à la même équation du second ordre, l'une pour le problème de la déformation infiniment petite, l'autre pour le problème de la représentation sphérique. - On retrouve la transformation de contact de M. Lie. - Notions générales sur une classe étendue de transformations de contact. - Application à celle de M. Lie. - Recherche des surfaces pour lesquelles on sait résoudre le problème de la représentation sphérique. - On démontre que, lorsqu'on sait résoudre ce problème pour une surface (), peut le résoudre, à l'aide d'une simple quadrature, pour toutes les surfaces inverses des surfaces () admettant même représentation sphérique que ( ). - Ce procédé, appliqué nux surfaces qui correspondent à l'équation , fournit toutes les surfaces réelles pour lesquelles on peut obtenir la solution complète du problème. - Démonstration analytique de ce résultat. - Compléments donnés aux développements du Livre IV, Chap. VII.
- CHAPITRE IX.
- .......... Page(s) .......... 198
- Première application des méthodes précédentes. - Rappel des formules propres à déterminer les surfaces admettant une représentations phérique donnée. - Recherche des surfaces à lignes de courbure planes dans un système. - Elles correspondent toutes à des équations à invariants égaux pour lesquelles la solution est de premier ou de second rang. - Méthode de recherche directe : théorème général qui permet de les déterminer très simplement au moyen de trois développables dont l'une (A) est isotrope et les deux autres (D), (D) applicables l'une sur l'autre avec correspondance des génératrices rectilignes. - On déduit de cette proposition que, si une ligne de courbure plane est un cercle, toutes les autres sont des cercles, que si une d'elles est algébrique, toutes les autres les ont aussi, etc. - Mise en oeuvre de la génération précédente. - Calculs et constructions géométriques propres à déterminer la surface réelle la plus générale à lignes de courbure planes, sans aucun signe de quadrature.
- CHAPITRE X.
- .......... Page(s) .......... 217
- Rappel des différentes classes de surfaces à lignes de courbure planes déterminées ou étudiées dans le cours de cet Ouvrage. - Indication de cas particuliers dans lesquels ces surfaces sont isothermiques. - Recherche systématique des surfaces qui satisfont à cette double condition d'avoir leurs lignes de courbure planes, au moins dans un système, et d'être isothermiques. - Mise en équation du problème. - Intégration des équations linéaires auxquelles satisfont les rotations. - Tout se ramène à la détermination d'une fonction h satisfaisant à deux équations aux dérivées partielles. - Application de la théorie des fonctions doublement périodiques de seconde espèce et des méthodes de M. Hermite à cette intégration. - La solution dépend des fonctions elliptiques et comporte une fonction arbitraire. - Explication de ce dernier résultat et construction géométrique de la surface. - Cas particulier où le module de la fonction elliptique devient nul.
- CHAPITRE XI.
- .......... Page(s) .......... 239
- Les surfaces à lignes de courbure sphériques dans un système correspondent à des équations aux dérivées partielles à invariants égaux qui sont du premier, du second ou du troisième rang. - Méthode directe de recherche. - Etant donnée une surface à lignes de courbure sphériques (), il existe une infinité de surfaces ( ) de même définition, dépendant d'une fonction arbitraire et admettant la même représentations phérique. - Théorème de M. Blutel. - Construction géométrique des surfaces ( ). - Comment on peut, sans aucune intégration, déduire toutes les surfaces à lignes de courbure sphériques des surfaces à lignes de courbure planes. - Propriétés diverses : en appliquant des inversions convenablement choisies à chaque ligne de courbure sphérique de la surface, on peut les placer toutes sur une même développable isotrope. - Définition de la rotation autour d'un cercle ; proposition qui rapproche les surfaces à lignes de courbure sphériques des surfaces à lignes de courbure planes. - Des surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes ou sphériques. - Leur détermination se ramène à la solution de l'équation fonctionnelle . - Résultat : toutes les surfaces cherchées dérivent simplement, soit du cône, soit de la surface dont les normales sont tangentes à un cône.
- CHAPITRE XII.
- .......... Page(s) .......... 267
- Systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles du second ordre à n variables indépendantes dans lesquels chaque équation ne contient qu'une dérivée seconde prise par rapport à deux variables différentes. - Forme type de ces systèmes, condition pour qu'ils admettent n + 1 intégrales linéairement indépendantes. - Extension à ces systèmes de la méthode de Laplace. - Comment on les intègre lorsque la suite de Laplace se termine dans un sens. - Indication de certains systèmes généraux dont l'intégrale peut être obtenue. - Cas particuliers. - Applications géométriques. - Systèmes de coordonnées curvilignes à lignes conjuguées. - Ces systèmes sont les seuls qui puissent correspondre à d'autres systèmes, les plans tangents aux surfaces coordonnées étant parallèles pour les points correspondants. - Interprétation géométrique des substitutions de Laplace généralisées. - Cas particulier des systèmes triples orthogonaux. - Théorème de M. Combescure. - Démonstration directe de ce théorème. - Application. - Détermination d'une classe de systèmes triples pour lesquels toutes les lignes de courbure sont planes. - En combinant l'inversion avec le théorème de M. Combescure, on peut faire dériver d'un système triple orthogonal une suite illimitée de systèmes analogues. - Détermination des systèmes orthogonaux à lignes de courbure planes dans un seul système. - Détermination des systèmes orthogonaux à lignes de courbure sphériques dans un seul système.
- CHAPITRE XIII.
- .......... Page(s) .......... 308
- Ce Chapitre est consacré à l'exposition des résultats nouveaux que l'on doit à M. Weingarien dans la recherche des surfaces applicables sur une surface donnée. - La méthode de M. Weingarten exige que l'on connaisse déjà au moins une surface récite ou imaginaire admettant l'élément linéaire donné. - Elle fait dépendre la détermination de toutes les surfaces () admettant cet élément linéaire de celle d'autres surfaces (), satisfaisant à une certaine équation aux dérivées partielles, qui établit une relation entre les rayons de courbure principaux, les distances d'un point fixe au plan tangent et au point do contact. - Cas particulier où les caractéristiques de cette équation aux dérivées partielles sont les lignes de longueur nulle de la représentation sphérique de (). - L'élément linéaire est alors défini par la formule simple , et l'équation à intégrer prend la forme simple . Indication des différentes formes de pour lesquelles l'intégration est possible. - Démonstration de différents résultats dus à M. Weingarten, Baroni, Goursat. - Les cas les plus intéressants font connaître toutes les surfaces applicables sur le paraboloïde du second degré dont une génératrice rectiligne est tangente au cercle de l'infini. - Réduction de l'élément linéaire de ces surfaces à la forme de Liouville qui permet l'intégration des lignes géodésiques.
- CHAPITRE XIV.
- .......... Page(s) .......... 338
- Nouveau développement donné par M. Weingarten aux recherches précédentes. - Problème proposé. - Etant donné un élément linéaire, pour résoudre le problème de la déformation, on mène par chaque point de la surface cherchée () une tangente faisant un angle déterminé, mais d'ailleurs variable, avec les courbes coordonnées ; puis on prend comme variables indépendantes deux paramètres quelconques propres à définir la direction de cette droite dans l'espace. - Formation des équations aux dérivées partielles auxquelles satisfont les coordonnées curvilignes u et v considérées comme fonctions de ces paramètres. - A ce propos, l'on rappelle et l'on complète quelques propriétés de la ligne de striction des surfaces réglées. - Etant donnée une congruence rectiligne, assembler les droites en surfaces réglées dont les lignes de striction soient sur une des nappes focales de la congruence. - Les propriétés géométriques établies permettent de simplifier les équations qui déterminent u et v et de les rédurie à une seule équation aux dérivées partielles du second ordre. - Renvoi au Mémoire de M. Weingarten couronné par l'Académie des Sciences.
- NOTES ET ADDITIONS.
- NOTE I.
- .......... Page(s) .......... 353
- NOTE II.
- .......... Page(s) .......... 368
- NOTE III.
- .......... Page(s) .......... 405
- NOTES DE L'AUTEUR.
- NOTE IV.
- .......... Page(s) .......... 423
- NOTE V.
- .......... Page(s) .......... 433
- NOTE VI.
- .......... Page(s) .......... 442
- NOTE VII.
- .......... Page(s) .......... 448
- NOTE VIII.
- .......... Page(s) .......... 466
- NOTE IX.
- .......... Page(s) .......... 489
- NOTE X.
- .......... Page(s) .......... 497
- NOTE XI.
- .......... Page(s) .......... 505
- .......... Page(s) .......... 517
- .......... Page(s) .......... 533
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