542 LE GENIE CIVIL Tomig LXXIX - N* 25
par l'application de formules variables suivant les auteurs, mais
conduisant à des résultats à peu près identiques; soit par la
recherche directe du bras de levier des armatures tendues.
Quelques auteurs préconisent également des nomogrammes ou des
abaques.
Parmi les for-
mules utilisées ,
celles dues au pro-
fesseur Morsch, de
l'École Polytechni-
que de Zurich, don-
nent les meilleurs
FIG. 1.
résultats. Si l'on soumet ces résultats à une vérification, l'on
obtient à très peu près les taux de fatigue que l'on s'est imposés
pour l'acier et pour le béton suivant les dosages, et ces résultats
sont conformes aux prescriptions de la circulaire du 20 oc-
tobre 1906.
Les formules de M. Morsch sont de la forme :
[h — d') = a. \/M
et w' = p Vl\l
M représentant le moment de flexion de la pièce.
La résolution de ces équations par le calcul ordinaire n'est pas
très difficile, mais comme on peut les mettre sous la forme :
il en résulte une grande simplification, car elles sont traduisibles
par la règle à calcul en un seul coulissement de la réglette et
deux jeux du curseur.
Les tableaux de M. Morsch donnent les différentes valeurs de
a et P pour m = 15 et pour toutes les valeurs usuelles de Raet Rj.
Il est facile de déterminer les valeurs des coefficients a et [3
pour m = 10 et pour les valeurs précitées de Ra et R6.
On peut utiliser pour cela la méthode de calcul exposée par
M. de Tedesco ('). Il suffit alors de faire sortir du radical le
diviseur de M. Nous ne croyons pas devoir entrer dans le détail
de cette démonstration.
D'ailleurs, dans la pratique courante, Ra et Rb varient assez
peu. Certaines maisons n'admettent notamment, pour ces taux de
fatigue, que deux valeurs :
Bb = 56 kilogr. ou 45 kilogr. par centimètre carré,
Ra = 800 kilogr. ou 1 200 kilogr. par centimètre carré,
suivant qu'ils se rapportent à des ouvrages étanches ou non.
Chaque ingénieur-projeteur peut donc facilement retenir les
valeurs de a et p relatives au travail courant, suivant les bases
adoptées par sa maison.
On trouvera, dans le tableau ci-après, quelques-uns des coeffi-
cients de M. Morsch, ainsi que certains autres coefficients calculés
par nous, et correspondant à la valeur du coefficient d'homo-
généité m = 10.
Valeurs des coefficients a et fi :
m Rb Ra IX
M - - - p
kg kg
10 45 1200 0,4229 0,21669
10 50 1200 0,389 0,23834
10 56 1200 0,3716 0,2756
15 45 1200 0,375 0,253
15 56 800 0,29 0,519
Soit à déterminer les éléments d'une dalle ayant pour moment
de flexion : M = 350 kgm., pour : m = 15; Rb = 45 kilogr. ;
Ra = 1 200 kilogrammes.
Les équations fournissant ces valeurs sont :
wi = 0,253 \/M
[h — d') = 0,375 \/M
(1) Nouveau Manuel théorique et pratique du Constructeur en ciment armé, p. 65
et suivantes de l'édition 1920.
On procédera comme suit (fig. 2). Amener l'un des traits 1 de
la réglette sur la graduation 350 de la partie supérieure de la
règle. Amener le trait repère du curseur, d'abord sur la gradua-
tion 253, puis sur la graduation 375 de la partie inférieure de la
réglette et lire au même moment sur l'échelle des nombres
(échelle inférieure), les valeurs correspondantes de l'armature de
traction : w' = 4cmî 73, et de la hauteur utile : (h — d') = 7cm 02.
Ajouter 2 centimètres environ à la valeur [h — d') pour le recou-
vrement des armatures ; on obtient alors l'épaisseur de la
dalle : e = 9 centimètres.
Il peut paraître irrationnel de déterminer d'abord l'armature
de traction, puis la hauteur utile, mais cette façon de procéder,
qui ne nuit en rien au résultat définitif, est préférable à celle qui
consisterait à placer d'abord le curseur sur la valeur de ex, puis
sur celle de P, car, en général, l'on rencontre dans le sens de la
chiffraison de la règle, d'abord [3, puis ex, et il en résulte une
plus grande rapidité.
Cette façon de procéder implique, il est vrai, la connaissance
préliminaire de l'épaisseur de la dalle, puisque le moment de
flexion M tient compte de son poids propre. Mais chacun sait
FIG. 2.
que, dans la pratique courante, on évalue approximativement
cette épaisseur dès l'origine du calcul, quitte à la modifier si l'on
s'aperçoit que l'on a estimé trop ou trop peu.
D'ailleurs, le plus souvent, les dalles doivent être calculées
selon deux sens orthogonaux (Avis du Conseil général des Ponts
et Chaussées de 1912), sauf évidemment lorsque l'une des dimen-
sions est de beaucoup supérieure à l'autre (quatre ou cinq fois) :
auquel cas l'on se contente de prévoir pour l'armature, selon le
sens de la plus grande dimension, une série de barres de faibles
diamètres, servant surtout à liaisonner les armatures de résis-
tance et que l'on se dispense de calculer.
Si la dalle envisagée ci-dessus avait été calculée selon deux
sens, l'on aurait obtenu un deuxième moment de flexion Ma,
inférieur au précédent, qui aurait permis de déterminer l'arma-
ture de traction selon ce sens, en utilisant la valeur de [h - d')
trouvée plus haut.
D'une façon générale, si l'on connaît les dimensions et les
charges d'une dalle, l'on détermine très facilement sur la règle
les moments de flexion M et Ma. Tout l'ensemble de l'opération
s'effectue alors selon chaque sens, en deux coulissements de
réglette et trois jeux du curseur.
Nous croyons devoir attirer l'attention sur ce mode de calcul
très rapide et très précis : il suffit d'ailleurs de l'essayer pour
s'en convaincre.
R. DEGUILLAUME,
Ancien ingénieur-adjoint des Travaux publics
de l'État.
VARIÉTÉS
Appareil permettant le tracé des trois coniques,
d'un mouvement continu automatique.
Le tracé automatique des coniques a fait, depuis longtemps,
l'objet de recherches nombreuses qui n'ont abouti, lusqu'ici, qu'à
la conception d'un certain nombre d'appareils, plus ou moins
pratiques, ayant tous l'inconvénient commun de ne pouvoir
tracer qu'un seul genre déterminé de coniques. Il faut donc
posséder trois instruments différents pour tracer automati-
quement les trois courbes : ellipse, hyperbole et parabole.
Si l'on ajoute que les prix de ces traceurs sont relativement
élevés et que souvent leur maniement n'est pas des plus simples,
on conçoit facilement que leur emploi ne peut être très répandu.
Il serait très intéressant, cependant, d'avoir à sa disposition
un appareil permettant de dessiner les trois coniques d'une façon
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