Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

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450 pages

Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte

Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)

Date d'édition : 1967-01-01

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34416987n

Type : texte texte

Type : publication en série imprimée publication en série imprimée

Langue : français

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Description : 01 janvier 1967 01 janvier 1967

Description : 1967/01/01 (SERA,T264,PART1)-1967/02/28. 1967/01/01 (SERA,T264,PART1)-1967/02/28.

Droits : Consultable en ligne

Identifiant : ark:/12148/bpt6k6435215p

Source : Archives de l'Académie des sciences

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 10/12/2012

C. R. Acad. Se. Paris, t. 264 (4 janvier 1967). Série A — 11

ALGÈBRE HOMOLOGIQUE. — Résolutions dans les catégories avec multipli-
cation. Note (*) de M. HEINRICH KLEISLI, transmise par M. Jean
Dieudonné.

Extension aux catégories avec multiplication (1) des notions de complexe acyclique
et de complexe représentable.

1. NOTATIONS ET DÉFINITIONS. — Soit et une catégorie quelconque.

Un complexe dans L't sera un objet semi-simplicial (3) sans opérateurs
de dégénérescence. Donc un complexe est donné par une suite d'ob-
jets Xn (n o) et de morphismes dL : XI! --+ X,,,, (n 0, oi n + i)
satisfaisant aux relations

Si X M Y sont des complexes dans 6i, une application f : X --+ Y est
donnée par une suite de morphismes fn : Xn--+ Yn (no) qui commutent
avec les morphismes d\L.

Soient f et g deux applications X -> Y. Une homotopie de f à g sera
une homotopie semi-simpliciale C) qui ne tient pas compte des opérateurs
de dégénérescence. Donc une telle homotopie est donnée par des
morphismes hln: Y,, (n^o, oLiLn) satisfaisant aux relations

DÉFINITION 1. — Une résolution d'un objet X-l dans Cl est un complexe
dans Cl muni d'un morphisme d'augmentation d0 u : X_! — X0 tel que

Si X et Y sont des résolutions de X-l et de Y-L, et si (-1 : X_j. —> Y_i
est un morphisme, on définit de manière évidente une application f : X -> Y
au-dessus de ~_j.

«
DÉFINITION 2. — Une homotopie contractile à gauche (resp. à droite)
d'une résolution X de X-i est une suite de morphismes kn : Xn+i -> XII
(n - i) satisfaisant aux relations

Soient JTt = ~(L't, (s, A, 8, y, ô) une catégorie avec multiplication (1)
et (A, c) un objet pointé (1).

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