Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

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450 pages

Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte

Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)

Date d'édition : 1967-01-01

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34416987n

Type : texte texte

Type : publication en série imprimée publication en série imprimée

Langue : français

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Description : 01 janvier 1967 01 janvier 1967

Description : 1967/01/01 (SERA,T264,PART1)-1967/02/28. 1967/01/01 (SERA,T264,PART1)-1967/02/28.

Droits : Consultable en ligne

Identifiant : ark:/12148/bpt6k6435215p

Source : Archives de l'Académie des sciences

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 10/12/2012

C. R. Acad. Se. Paris, t. 264 (16 janvier 1967). Série A — 113

ANALYSE FONCTIONNELLE. - Caractérisation d'une classe de transfor-
mations s emi-multiplicatif es. Note (*) de M. JEAN DHOMBRES, présentée
par M. Paul Lévy.

DÉFINITION D'UN OPÉRATEUR SEMI-MULTIPLICATIF, — Soit A une algèbre
de Banach, commutative et unitaire sur le corps des complexes, dont les
éléments sont notés f, g. Un opérateur M, opérant de A dans A, est
dit semi-multiplicatif s'il vérifie les quatre propriétés suivantes :
(1) M est un opérateur linéaire;
(2) M(e) = e si e désigne l'élément unité de A;
(3) M (fMg) = (Mf) (M g) pour tout f, g de A;
(4) M est continu (soit Il Mfll L Il M Il.11 fil).

On peut remarquer que (2) et (3), joints à (4), impliquent Il M i.

Nous particularisons notre intérêt à des algèbres de fonctions dont les
éléments sont définis sur un groupe abélien localement compact et prennent
leurs valeurs dans une algèbre B, supposée commutative, unitaire et de
Banach sur le corps des complexes.

On dit d'un opérateur M qu'il est invariant (sous-entendu, par les trans-
lations du groupe G) s'il vérifie la propriété :
(5) M (Tkf) = Th (M/),

thf est l'application x -+ f(x — h), où h∈ G.

ALGÈBRE DES FONCTIONS PRESQUE-PÉRIODIQUES. — Cette propriété
d'invariance conduit naturellement à l'étude de l'algèbre des fonctions
presque-périodiques (2). GA désigne le groupe dual du groupe abélien
localement compact G (1). A (G, B) est l'algèbre fermée, pour la topologie
de la convergence uniforme, engendrée par les « polyn ômes trigono-
métriques » P (x) à valeurs dans l'algèbre B.

A (G, B) est une algèbre de Banach, commutative, unitaire.

THÉORÈME 1. — Il existe une correspondance biunivoque entre l'ensemble
des opérateurs semi-multiplicatifs invariants définis sur A (G, B) et l'ensemble
des sous-groupes du groupe dual de G.

Cette correspondance est précisée par ce qui suit. On vérifie facilement
en utilisant (5), (1) et (3) que M(x) = k(x) X, où k(x) est une fonction
scalaire ne prenant que les valeurs 1 ou o. L'ensemble A des éléments
tels que k(x) = 1 forme un sous-groupe du groupe GA, injectivement

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