Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

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378 pages

Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte

Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)

Date d'édition : 1967-03-01

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34416987n

Type : texte texte

Type : publication en série imprimée publication en série imprimée

Langue : français

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Description : 01 mars 1967 01 mars 1967

Description : 1967/03/01 (SERA,T264,PART2)-1967/04/30. 1967/03/01 (SERA,T264,PART2)-1967/04/30.

Droits : Consultable en ligne

Identifiant : ark:/12148/bpt6k6431380c

Source : Archives de l'Académie des sciences

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 26/11/2012

C. R. Acad. Se. Paris, t. 264 (17 avril 1967). Série A — 741

CALCUL DES PROBABILITÉS. — Existence de l'espérance mathématique d'une,
variable aléatoire. Extension aux moments d'ordre quelconque. Note (*)
de M. BERNARD MORUCCI, présentée par M. Paul Lévy.

1. a. NOTATIONS. — Soient donnés l'espace de probabilité (R, ûh, P) et
une variable aléatoire X. Nous désignons par v(t) = E (eUX) (espérance
mathématique de la variable aléatoire eUX) la fonction caractéristique
associée à la variable aléatoire X, et par X+ et X- les composantes de X
telles que : X = X+ - X-a
b. PROBLÈME. — Trouver des conditions d'existence de l'espérance
mathématique de la variable aléatoire X, E(X).

c. Remarques. — Si la variable aléatoire X est bornée inférieurement
(ou supérieurement), l'existence de '(o) suffit à montrer l'existence
de E(X) (').

— Si E (X-) [respectivement E(X) ] est fini, l'existence de (0)
suffit à montrer la finitude de E(X) (2).

2. a. THÉORÈME. — Soit X une variable aléatoire et F(x) la fonction de
répartition : F (x) = P { X ~L x j (V xE R).

Si Xk+ [I - F (x) F (— x)] tend vers une limite finie quand x augmente
indéfiniment, pour α réel tel que : o < α < l, alors E (Xli) existe.

Il suffit de reprendre la démonstration que Cramer (3) donne de ce
théorème dans le cas où oc est égal à i.

Ce résultat peut s'affiner de la manière suivante.

b. NOTATIONS. - Soient les expressions e(n) (x) et LOn) (x) définies de
la façon suivante :
e(n) (x) = exp [e(ft_,) (x)], avec e(l) (x) = eX,
Log(n) (x) = [Logi,,-!, (x)], avec LOg(l) (x) = Logx.

c. THÉORÈME. — SL x2k+l Logln) (x) [ i - F (x) + F (- x)] tend vers une
limite finie quand x augmente indéfiniment, alors le moment d'ordre 2k + I
existe.

d. Démonstration. — La démonstration résulte de la majoration de
l'intégrale

par Cjp-, où C est une constante positive et de celle de la somme 1 lp par
P=1
une série de Riemann convergente.

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