Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

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378 pages

Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte

Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)

Date d'édition : 1967-03-01

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34416987n

Type : texte texte

Type : publication en série imprimée publication en série imprimée

Langue : français

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Description : 01 mars 1967 01 mars 1967

Description : 1967/03/01 (SERA,T264,PART2)-1967/04/30. 1967/03/01 (SERA,T264,PART2)-1967/04/30.

Droits : Consultable en ligne

Identifiant : ark:/12148/bpt6k6431380c

Source : Archives de l'Académie des sciences

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 26/11/2012

732 — Série A C. R. Acad. Se. Paris, t. 264 (17 avril 1967).

ANALYSE FONCTIONNELLE. — Inéquations d'évolution abstraites.

Note (*) de M. HAÏIU BREZIS, présentée par M. Arnaud Denjoy.

On étend les théorèmes de la Note précédente (') à la résolution d'inéquations
d'évolution abstraites associées à des opérateurs demi-monotones. On énonce égale-
ment un théorème de régularité pour la solution.

Soient Y un espace de Banach réflexif sur R de norme l' Il et X un sous-
ensemble convexe de V.

DÉFINITION. — On dit qu'un opérateur A de X dans V' est demi-monotone
et borné s'il peut se mettre sous la forme Au = A(u, u), où A(u, v) est une
application de Xx X dans V' vérifiant les propriétés :
(DM,) Pour tout r€X, l'opérateur uÇ. X A (z-t, v) est monotone
hémicontinu ;
(DM',) L'opérateur (u, v) € Xx X A(it, v) transforme les ensembles
bornés de Xx X en des ensembles bornés de V';
(DMJ Pour tout filtre (Ui) porté par un ensemble faiblement compact
de X tel que (itj) -> u dans X faible et lim sup (A ui, ui - u) L 0, on a
Tl -H

(A (c, ut), iii) (A (f,, u), f, - ii) pour tout r G X.

[Si V est séparable, il est équivalent de formuler (DM3) pour des suites.]
DÉFINITION. — Soit D(L) un sous-espace vectoriel de V. On dit qu'un
opérateur L linéaire et monotone de D(L) dans V' est compatible avec X
si pour tout u E X il existe une suite unS D(L) H X qui converge fortement
vers u et telle que limsup(LIT„, u, - u) Lo.

Tl -H GO
PROPOSITION 1. — Soit L un opérateur linéaire et monotone de D(L)
dans V' compatible avec X. Soit A un opérateur monotone hémicontinu et
borné de X dans V'. Soient u€ïX et fer ; les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i) (f, v - u) - (A u, v - u) - (L v, v — u) ^o, V vS D(L) n X;
(ii) (f, v - u) - (Av, v - u) - (Lv, v - u) Lo, V vS D(L) n X.

1. THÉORÈMES D'EXISTENCE ET D'UNICITÉ.

THÉORÈME 1. — Soit X un convexe fermé de V contenant o. Soit L un
opérateur linéaire et monotone de D(L) dans V' compatible avec X. Soit A un
opérateur demi-monotone et borné de X dans V. On suppose que

Alors pour tout fe V' il existe u e X tel que
(i) (/, r — u) — (A ti,, e, - ii) — (Le, c - m) Zo, V cçD(L)nX,

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