Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

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378 pages

Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte

Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)

Date d'édition : 1967-03-01

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34416987n

Type : texte texte

Type : publication en série imprimée publication en série imprimée

Langue : français

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Description : 01 mars 1967 01 mars 1967

Description : 1967/03/01 (SERA,T264,PART2)-1967/04/30. 1967/03/01 (SERA,T264,PART2)-1967/04/30.

Droits : Consultable en ligne

Identifiant : ark:/12148/bpt6k6431380c

Source : Archives de l'Académie des sciences

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 26/11/2012

C. R. Acad. Se. Paris, t. 264 (6 mars 1967). Sérié A — 427

NOTES DES MEMBRES ET CORRESPONDANTS
ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS
ALGÈBRE. - Suite régulière et intersection complète.

Note (*) de M. DANIEL FERRAND, présentée par M. René Garnier,
Caractérisation des idéaux d'un anneau local noethérien qui sont engendrés
par une suite régulière. Critères différentiels pour qu'un schéma soit une inter-
section complète.

Les démonstrations des théorèmes 1 et 2 s'inspirent de celle que
Kaplanski a donnée du théorème des syzygies de Hilbert-Serre (2),
0IV, 17.3.1.

THÉORÈME 1. — Soient A un anneau local noethérien et J un idéal non
nul de A. Les conditions suivantes sont équivalentes ;
(i) J est engendré par une suite A-régulière;
(ii) J/J- est un A/J-module libre et dim. projA (J) < oc.

LE M ME 1. — (1) Soient A un anneau local noethérien et J un idéal non
nul de A. Si J est de dimension projectile finie, Annv(J) = o.

Le fait que (i) implique (ii) est bien connu; la réciproque se démontre
par récurrence sur le rang du module libre J/J2 : le lemme 1 assure l'exis-
tence d'un élément A-régulier f de J dont l'image dans J/J2 fait partie
d'une base; on vérifie alors que J If A est facteur direct de J If J, donc que
dim.projA//A(J//A) < oc ; comme JlfA + J2 est un A/J-module libre de
rang strictement plus petit que celui de J/J2, on terminera démonstration
en utilisant l'hypothèse de récurrence.

L'interprétation différentielle du théorème 1 nécessite quelques rappels
extraits de (2) OIV, 20.

Soient A un anneau noethérien et B une A-algèbre de type fini. Si R
est une A-algèbre lisse (par exemple un anneau de polynomes sur A)
munie d'un homomorphisme surjectif de A-algèbres R -+ B, de noyau J,
la différentielle dR/A: R -> R induit, par restriction à J et passage
aux quotients, un homomorphisme de B-modules

On peut considérer cela comme un complexe de B-modules à deux
termes non nuls ; le fait remarquable est que ce complexe ne dépend pas,
à homotopie près, de la A-algèbre lisse R choisie. Le conoyau de On/R/¡\

s'identifie à £ 2b/a, et nous désignerons son noyau par NB/A; de sorte qu'on
a une suite exacte

C. R., 1967, 1 cr Semestre. (T. 264, N° 10.) Séries A-B — 73

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