Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

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378 pages

Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte

Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)

Date d'édition : 1967-03-01

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34416987n

Type : texte texte

Type : publication en série imprimée publication en série imprimée

Langue : français

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Description : 01 mars 1967 01 mars 1967

Description : 1967/03/01 (SERA,T264,PART2)-1967/04/30. 1967/03/01 (SERA,T264,PART2)-1967/04/30.

Droits : Consultable en ligne

Identifiant : ark:/12148/bpt6k6431380c

Source : Archives de l'Académie des sciences

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 26/11/2012

C. R. Acad. Se. Paris, t. 264 (13 mars 1967). Série A — 515

GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. — Décomposition d'un tenseur symétrique
sur un espace d'Einstein. Note (*) de Mlle CHRISTIANE BARBANCE, présentée
par M. André Lichnerowicz.

On reprend les notations d'une Note précédente (1) et l'on se propose d'établir
qu'on peut de la même façon décomposer un 2-tenseur symétrique sur un
espace d'Einstein Rii gii compact à À > o.

1. Lichnerowicz a établi que sur une variété riemannienne compacte
à tenseur de Ricci défini positif les valeurs propres de l'opérateur À qui
correspondent aux i-formes cofermées ou fermées sont respectivement
supérieures ou égales aux nombres = inf Àl (x), où )1 (x) est la plus
x
petite valeur propre de l'opérateur Q au point x et X3=X1/[2—{^/n)]
et que si l'espace est d'Einstein, et l'on a À1 = 2 À les i-formes cofermées
correspondant à la valeur )i définissent toutes les isométries infinitési-
males tandis que les i-formes fermées correspondant à la valeur propre
définissent des transformations infinitésimales conformes.

2. V est un espace d'Einstein Rij = À gij, ), > 0 compact orientable.

Alors bi (V) = o.

PROPOSITION 1. — Sur un espace d'Einstein compact orientable à X > o
tout 2-tenseur symétrique T admet une décomposition unique de la forme
(1) T = t + i?( £ )g

tel que ot = o.

L'unicité provient de l'orthogonalité des deux termes du second
membre de (i).

Sur une variété riemannienne compacte quelconque, la divergence d'un
2-tenseur symétrique est orthogonale aux isométries infinitésimales.

Posons oT = do + Sa, £ = d + β et soit à résoudre en et [3

D'après 1, A n'est pas valeur propre de A et l'équation en dt a une solution
et une seule.

Montrons que oa est orthogonale aux i-formes YJ solutions de
(A — 2 A) Y] = O.

Si Y] est une telle solution sa composante cofermée l'est aussi et d'après 1,
définit une isométrie infinitésimale.

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