Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 16/01/2013
SÉANCE DU II AVRIL 1921. 901
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Les polynomes v d'Hermite-Didon et les fonctions de Laplace dans l'hyperespace. Note (')de M. PIERRE HUMBERT, présentée par M. Appell.
Nous avons rencontré récemment (2) les polynomes ~m,n( x-i y) d'Hermite dans l'expression de la fonction de Laplace en coordonnées hypertoroïdales.
Montrons qu'une infinité de changements de variables analogues, dans l'hy- perespace, conduira encore à des fonctions de Laplace où figureront ces mêmes polynomes à 2 ou à n variables.
I. Considérons d'abord, dans l'espace à trois dimensions, le changement de variables (1) x = F (ρ, σ) cos ϕ , y = F (ρ, σ) sino, z = Φ (ρ, σ).
que nous supposerons orthogonal.
On écrira aisément l'équation de Laplace AU = o sous la forme classique indiquée par Lamé, et l'on en obtiendra immédiatement une solution en posant (2) U = U1 (ρ, σ) sin (m + 1)ϕ, la fonction U, satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles
Ceci posé, nous déduirons du système (1) un changement de variables dans l'espace à 4 dimensions par les formules x = u F (p, σ), .Y=I'F(p,c;), z = F (ρ, σ), t = Φ (ρ, σ).
Si l'on forme l'équation de Laplace dans ce nouveau système (qui n'est pas orthogonal), on trouve, en tenant compte de (1),
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