Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 16/01/2013
SÉANCE DU 21 FÉVRIER 1 1921. 437 -
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certains modes de détermination des solutions de Au = co2u. Note de M. GEORGES BOULIGAND, présentée par M. E.
Goursat.
J'ai donné, ici même (1), quelques propositions relatives à la détermi- nation unique d'une solution de Au.= AM, dans un domaine infini, par ses caractères aux points très éloignés, et par ses valeurs à la frontière. Il y a , intérêt à ne pas s'en tenir, comme je l'ai fait jusqu'à présent, à la considé- ration exclusive des solutions partout bornées. Soit un domaine D de frontière S, non singulière à distance finie; D possède un nombre limité de branches infinies, de genre fini. Soit une solution de
analytique dans D, nulle sur S. Quel ensemble de conditions suffit-il de lui imposer aux points très éloignés de D pour affirmer qu'elle y est partout nulle ? On peut adopter deux points de vue bien distincts : 1° Ou bien chercher des propositions s'appliquant collectivement à tous les domaines ou tout au moins à des classes très étendues de domaines; 2° Ou bien, se limitant aux domaines dont l'ensemble des points à l'infini répond à quelque hypothèse bien précise, chercher pour eux seuls des critères d'unicité, moyennant des conditions moins restrictives.
Lorsque co n'est pas nul, on gagne relativement peu de précision lorsqu'on passe du premier ordre d'idées au second. Voici en effet, quant au premier point de vue, un théorème qui résulte aisément de mes recherches précitées : Une solution de (1), nulle sur S, analytique dans D, est nulle en tout point P de ce domaine, si l'on a 1 Upl < f(r), r désignant la distance de P à un point fixe quelconque et f(r) - une fonction telle que le produit ■ r e~w' (r) - (gj > o) tende vers zéro lorsque r augmente indéfiniment.
Il en sera ainsi, par exemple, si f(r) est de la forme Aelùtl', 001 désignant un nombre positif inférieur à w.
- Essayons maintenant, en nous ralliant au second point de vue, d'obtenir des résultats plus précis. Supposons que chaque branche de D, à partir
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