Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 16/01/2013
434 ACADÉMIE DES SCIENCES.
Au point de vue de la théorie des déterminants infinis, les hypothèses faites sur les apn montrent que le déterminant infini du système (2) est normaloïde au sens de M. von Koch.
La discussion précédente s'applique au nombre bien déterminé de solu- tions de l'équation homogène (1) pour une valeur caractéristique de X.
Pour donner un exemple très simple, je citerai l'équation
qui n'admet aucune solution. Donc le système correspondant a toutes ses solutions singulières et leur fonction génératrice a un rayon de convergence nul.
Note de M. BORIS DELAUNAY, transmise par M. Hadamard.
1. Soit a la racine réelle de l'équation cubique a. 3 - n (1.2 + pou. -b q. Avant tout il faut calculer l'unité fondamentale Eo de l'anneau O(a), ce qu'on fera par la méthode de Woronoï. Soit £ 0 = «a2-f k + c cette unité (celle entre s, — s, - - qui donne o < E, < 1), alors toutes les solutions (X,Y) seront les puissances E'0" ou s ~w , avec des exp osants entiers positifs m, qui seront binômes, c'est-à-dire de la forme Pa + 0.
2. Nous appellerons l'unité réduite s'il n'y a pas de nombre X tel que a soit divisible par X2 et b par X; au cas où cela se rencontrerait, nous adjoin- drions X à a en remplaçant a par a = Xa.
THÉORÈME. — Aucune puissance de V unité réduite a a2 + b a H- c ne peut être binoTlle s'il y a un nombre premier impair r. qui est diviseur commun de a et b.
Soit (a 12 + bon -f- c)m = P7. + Q, en remplaçant oc par (3 - x et en posant x = b,3 où a = oai ; b = ô b, et Ca" bl) == 1 [nous désignerons par (x, c) 2a, , le plus grand commun diviseur], nous obtenons (Sp2 + cr)m = P'p + Q', où p = 2a, (3, 0 = (a, b), 1 = 4a, c — Sb2. Nous avons (S, c) = 1, puisque (a, b, c) = i, et (0, rt,) = i, puisque l'unité est réduite, et nous voyons que (0, <7) ne peut être qu'un diviseur de 4, et alors si 0 a un diviseur pre- mier impair t, (û, <7) = 1. Posons (Op2 + cr)/fl = M' 22 + P'p -f- Q', alors
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