[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]

1974

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Presse et revues

670 pages

Titre : [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]

Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte

Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)

Date d'édition : 1974-01-01

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34374637v

Type : texte texte

Type : publication en série imprimée publication en série imprimée

Langue : français

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Description : 01 janvier 1974 01 janvier 1974

Description : 1974/01/01 (SERA,T278,PART1)-1974/02/28. 1974/01/01 (SERA,T278,PART1)-1974/02/28.

Droits : Consultable en ligne

Identifiant : ark:/12148/bpt6k62369363

Source : Archives de l'Académie des sciences, 2012-37588

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 30/07/2012

C. R. Acad. Se. Paris, t. 278 (28 janvier 1974) Série A — 313

ALGÈBRE DES CATÉGORIES. - Sur l'algébricité de la complétion à gauche
des catégories. Note (*) de M. Dominique Prochasson, présentée par M. René
Garnier.

W. Lawvere a indiqué dans (1) que les catégories complètes pour les sommes peuvent être obtenues
comme les algèbres d'un triple explicite dans Cat.

On montre ici, en construisant le triple, qu'il en est de même pour les catégories complètes pour
toutes ou certaines limites inductives non discrètes. Ces problèmes étudiés dans (6) ont de nom-
breux liens avec l'étude des fibrations dans les catégories [voir (2), (3) et (4)].

Étant donné un univers, on appelle ensemble un élément de l'univers, petite catégorie
une catégorie dont les flèches forment un ensemble et catégorie légitime une catégorie
telle que, deux objets quelconques étant choisis, la classe des flèches ayant l'un pour
source et l'autre pour but soit un ensemble.

Cat désigne la catégorie des catégories légitimes et Cat son quotient par la relation
d'équivalence suivante :
« Deux foncteurs F et G, ayant même source A et même but B, sont équivalents si
et seulement s'il existe deux transformations naturelles e1:F->Gete2:G->F telles
que El ° e2 = 1G et F,2 0 Fl = 1F. »

1. UN TRIPLE A ISOMORPHISMES PRÈS DANS Cat.

1. 1. On définit dans Cat l'endofoncteur diag de la manière suivante :
1.1. 1. Si K désigne un objet de Cat, diag K est la catégorie dont les objets sont les
flèches de Cat ayant pour source une petite catégorie et pour but K, et dont les flèches
notées (f, (p) : F-e~ Fi sont les couples d'un foncteur f et d'une transformation naturelle
q> : F -> Fj °/.

1.1.2. Si L est un foncteur de source K et but Ki, le foncteur diag L : diag K -+ diag K1
est défini par les formules
diag L (F) = LloF, diag L(/, (p) = (/, L * (p).

1.2. Nous construisons deux transformations naturelles entre endofoncteurs de Cat,
notées 11 : 1 -> diag et Il : diag diag -* diag.

1.2. 1. Pour un objet K de Cat, 11K associe à un objet K de K le foncteur de source 1
et but K dont l'image est K : on le note K. A une flèche k : K -" K1 dans K, 11K associe
la flèche (1, ( k }) : K-*> Kls où 1 désigne l'unique endofoncteur de 1. -

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