[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]

1974

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Presse et revues

670 pages

Titre : [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]

Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte

Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)

Date d'édition : 1974-01-01

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34374637v

Type : texte texte

Type : publication en série imprimée publication en série imprimée

Langue : français

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Description : 01 janvier 1974 01 janvier 1974

Description : 1974/01/01 (SERA,T278,PART1)-1974/02/28. 1974/01/01 (SERA,T278,PART1)-1974/02/28.

Droits : Consultable en ligne

Identifiant : ark:/12148/bpt6k62369363

Source : Archives de l'Académie des sciences, 2012-37588

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 30/07/2012

C. R. Acad. Se. Paris, t. 278 (21 janvier 1974) Série A — 223

ALGÈBRE DES CATÉGORIES. - Catégories fibrées et homotopie.

Note (*) de M. Georges Hoff, présentée par M. René Garnier.

Après avoir précisé les notions de fibration et d'homotopie dans la catégorie des petites catégories,
on étudie les propriétés des catégories fibrées, de l'homotopie entre foncteurs et des équivalences
d'homotopie.

0. NOTATIONS. — ℒat sera la catégorie dont les objets sont les petites catégories et dont
les morphismes sont les foncteurs entre petites catégories. Dans ce qui suit toutes les
catégories sont des objets de Wat. Si A et B sont deux catégories, nous noterons [A, B]
la catégorie dont les objets sont les foncteurs de A vers B et dont les morphismes sont les
transformations naturelles entre tels foncteurs.

1. FIBRATIONS DANS ℒat. — Nous reprenons les notations et les définitions de e)
et (2) relatives aux catégories fibrées.

DÉFINITION F. — Un foncteur O sera appelé fibration si est une 0-fibration munie
d'un 0-clivage normal-scindé et si est une 1-fibration munie d'un 1-clivage normal-
scindé.

C'est une bifibration dans la terminologie de (4).

Des démonstrations de la théorie des catégories fibrées, par exemple de (3) ou (4), nous
permettent d'énoncer les résultats suivants.

THÉORÈME F 1. — Tout isomorphisme de ℒat est unefibration. En particulier, lefoncteur
identique de toute catégorie est une fibration.

THÉORÈME F 2. — Tout foncteur composé de deux fibrations est une fibration.

THÉORÈME F 3. — Le foncteur C -» 1, où C est une catégorie quelconque et où 1 est la
catégorie réduite à un objet et à son morphisme identique, est une fibration.

THÉORÈME F 4. - Soit : A -> B une fibration, soit T : B' -> B un foncteur et soit

le produit fibré, dans Wat, de O et de T, alors C' est une fib ration.

2. LA CATÉGORIE — Nous allons contruire une catégorie qui jouera dans Cflat
un rôle comparable à celui que joue le segment [0, 1] dans la catégorie des espaces
topologiques.

DÉFINITION N 1. — Soit N la catégorie dont les objets sont les entiers naturels et dont
les morphismes sont définis de la manière suivante : si m et n sont deux entiers naturels
distincts, on a un et un seul morphisme de m vers n si m est pair et si l'on a
n = m - 1 ou n = m+l,
aucun sinon.

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