Titre : [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)
Date d'édition : 1974-03-01
Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34374637v
Type : texte texte
Type : publication en série imprimée publication en série imprimée
Langue : français
Format : Nombre total de vues : 2816 Nombre total de vues : 2816
Description : 01 mars 1974 01 mars 1974
Description : 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30. 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30.
Droits : Consultable en ligne
Identifiant : ark:/12148/bpt6k6236817d
Source : Archives de l'Académie des sciences, 2012-37588
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 16/07/2012
C. R. Acad. Se. Paris, t. 278 (4 mars 1974) Série A — 711
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. - Sur les équations de Pfaff poly-
nomiales et pseudopolynomiales complètement intégrables. Note (*) de Mme Antoinette
Sec, présentée par M. Jean Leray.
Les résultats contenus dans cette Note fournissent un commencement de réponse au vaste
problème posé par Paul Painlevé dans ses Leçons de Stockholm [(1), p. 16, 430 et 523] : généraliser
ses résultats au cas de plusieurs variables.
1. ÉQUATIONS DE PFAFF POLYNOMIALES sur CnxC (resp. VxC, où V est un ouvert
de C"). — Soient x, y les coordonnées d'un point de C" x C. On désigne par ω0, ω1,
co des formes de Pfaff holomorphes sur C" (resp. sur V). On suppose que la forme
co = (ω0 + y (ω1 + +yp ωp — dy est complètement intégrable.
L'équation de Pfaff co = 0 est alors, par définition, une équation de Pfaff polynomiale
sur C" x C (resp. sur V x C).
Une telle équation définit un feuilletage analytique complexe de codimension 1
dans C" x C (resp. V x C). On désignera ce feuilletage par F (co) [resp. ~F v (co)].
2. RANG D'UNE ÉQUATION DE PFAFF POLYNOMIALE sur ~Cn X C. — Soit x un point
de C" et soit Px (co) la dimension de l'espace vectoriel engendré par ω0 (x), col (X), .,
ωp (x) dans le dual de C".
Soit d la famille des changements de coordonnées de Cn x C qui sont du type
(x, y) - (a (x), ya (x) + b (x), où a est un isomorphisme analytique de C", a et b sont des
fonctions holomorphes sur C", a non nulle.
On dira, par définition, que le nombre p suivant est le rang de l'équation de Pfaff
polynomiale ω = 0 :
p = Inf Sup px(A* ω),
AEd x ∈ Cn
où A* co désigne l'image réciproque de co par A.
3. ÉQUATIONS DE PFAFF POLYNOMIALES DISTINGUÉES sur VxC (où V est un ouvert
de C") ET LOCALEMENT DISTINGUÉES. — Soit Y la famille des applications holomorphes
de V x C dans C x C qui sont du type (x, y) -> (s (x), ya (x) + b (x)), où s est une submersion
holomorphe, a et b sont des fonctions holomorphes, a non nulle.
Une équation de Pfaff polynomiale co = 0 sur C" x C est, par définition, une équation
de Pfaff distinguée sur V x C s'il existe une application S (appartenant à) la famille Y et
une équation de Pfaff polynomiale a = 0 sur S (V x C) tels que S-1 (V) (α)) = Fv (co).
Une équation de Pfaff polynomiale co = 0 sur C" x C est, par définition, une équation
de Pfaff localement distinguée si, pour tout point x d'un ouvert dense de C", il existe un
voisinage ouvert Vx tel que co = 0 soit une équation de Pfaff distinguée sur Vx x C.
4. PROPRIÉTÉS DES ÉQUATIONS DE PFAFF POLYNOMIALES.
THÉORÈME 1. — Soit ω = 0 une équation de Pfaff polynomiale sur Cn X C. Les deux
propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) L'équation co = 0 est localement distinguée;
(ii) Le rang de l'équation (0 = 0 est égal à 0 ou à 1.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. - Sur les équations de Pfaff poly-
nomiales et pseudopolynomiales complètement intégrables. Note (*) de Mme Antoinette
Sec, présentée par M. Jean Leray.
Les résultats contenus dans cette Note fournissent un commencement de réponse au vaste
problème posé par Paul Painlevé dans ses Leçons de Stockholm [(1), p. 16, 430 et 523] : généraliser
ses résultats au cas de plusieurs variables.
1. ÉQUATIONS DE PFAFF POLYNOMIALES sur CnxC (resp. VxC, où V est un ouvert
de C"). — Soient x, y les coordonnées d'un point de C" x C. On désigne par ω0, ω1,
co des formes de Pfaff holomorphes sur C" (resp. sur V). On suppose que la forme
co = (ω0 + y (ω1 + +yp ωp — dy est complètement intégrable.
L'équation de Pfaff co = 0 est alors, par définition, une équation de Pfaff polynomiale
sur C" x C (resp. sur V x C).
Une telle équation définit un feuilletage analytique complexe de codimension 1
dans C" x C (resp. V x C). On désignera ce feuilletage par F (co) [resp. ~F v (co)].
2. RANG D'UNE ÉQUATION DE PFAFF POLYNOMIALE sur ~Cn X C. — Soit x un point
de C" et soit Px (co) la dimension de l'espace vectoriel engendré par ω0 (x), col (X), .,
ωp (x) dans le dual de C".
Soit d la famille des changements de coordonnées de Cn x C qui sont du type
(x, y) - (a (x), ya (x) + b (x), où a est un isomorphisme analytique de C", a et b sont des
fonctions holomorphes sur C", a non nulle.
On dira, par définition, que le nombre p suivant est le rang de l'équation de Pfaff
polynomiale ω = 0 :
p = Inf Sup px(A* ω),
AEd x ∈ Cn
où A* co désigne l'image réciproque de co par A.
3. ÉQUATIONS DE PFAFF POLYNOMIALES DISTINGUÉES sur VxC (où V est un ouvert
de C") ET LOCALEMENT DISTINGUÉES. — Soit Y la famille des applications holomorphes
de V x C dans C x C qui sont du type (x, y) -> (s (x), ya (x) + b (x)), où s est une submersion
holomorphe, a et b sont des fonctions holomorphes, a non nulle.
Une équation de Pfaff polynomiale co = 0 sur C" x C est, par définition, une équation
de Pfaff distinguée sur V x C s'il existe une application S (appartenant à) la famille Y et
une équation de Pfaff polynomiale a = 0 sur S (V x C) tels que S-1 (V) (α)) = Fv (co).
Une équation de Pfaff polynomiale co = 0 sur C" x C est, par définition, une équation
de Pfaff localement distinguée si, pour tout point x d'un ouvert dense de C", il existe un
voisinage ouvert Vx tel que co = 0 soit une équation de Pfaff distinguée sur Vx x C.
4. PROPRIÉTÉS DES ÉQUATIONS DE PFAFF POLYNOMIALES.
THÉORÈME 1. — Soit ω = 0 une équation de Pfaff polynomiale sur Cn X C. Les deux
propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) L'équation co = 0 est localement distinguée;
(ii) Le rang de l'équation (0 = 0 est égal à 0 ou à 1.
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