[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]

1974

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Presse et revues

614 pages

Titre : [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]

Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte

Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)

Date d'édition : 1974-03-01

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34374637v

Type : texte texte

Type : publication en série imprimée publication en série imprimée

Langue : français

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Description : 01 mars 1974 01 mars 1974

Description : 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30. 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30.

Droits : Consultable en ligne

Identifiant : ark:/12148/bpt6k6236817d

Source : Archives de l'Académie des sciences, 2012-37588

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 16/07/2012

C. R. Acad. Se. Paris, t. 278 (29 avril 1974) Série A — 1209

GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. - Sur les espaces fibrés vectoriels doués de
deux lois de dérivation covariante. Note (*) de M. Gheorghe Atanasiu,
présentée par M. André Lichnerowicz.

On définit d'une part, des lois de dérivation covariante mixte induites par un couple de dérivées
covariante dans un espace fibré vectoriel quelconque, et d'autre part, les notions de courbure
mixte et de courbure de déformation de ce couple. >

L'étude des variétés différentiables douées d'un couple de connexions a été faite pour
la première fois par A. P. Norden (6). L'École de géométrie de Iassy a continuellement
développé ce sujet par les recherches de R. Miron, V. Cruceanu [(3), (4), (S)],
I. Vaisman (7), M. Craiveanu (2) et l'auteur (1). Dans la présente Note nous donnerons un
point de vue plus général que celui de A. P. Norden et I. Vaisman, en vue de définir les
lois de dérivation covariante mixte et respectivement les notions de courbure mixte et de
déformation, leurs définitions étant formulées pour deux lois de dérivées covariantes
données dans un espace vectoriel quelconque.

1. Soit E un espace fibré vectoriel sur la variété C∞-différentiable, paracompacte, finie
dimensionnelle M, à fibre locale Ex (x e M), et soit E* son dual. Nous notons encore e (M)
l'algèbre des fonctions réelles C∞-différentiables sur M, X (M) l'algèbre de Lie des champs
de vecteurs sur M, Et* (M) le êF (M)-module de champs de 1-formes, et Y -P (M) le e (M)-
module de champs de tenseurs de type (p, q) sur le variété M.

DÉFINITION 1. - Nous appelons (p, q)-section toute section dans l'espace fibré
vectoriel EP sur M, à fibre locale (~Epq)x formée de l'ensemble de toutes les applications
, -q- -p-
(p + q)-linéaires définies sur le produit direct Ex x x Exx E: x X~E* à valeurs réelles.

REMARQUE 1. - Si E = T (M), une (p, q)-section est un élément de 9-P (M).

1 2
Nous considérons dans l'espace fibré vectoriel E deux lois de dérivation covariante D, D
et nous notons Et EP (M) le 3F (M)-module des sections du type (p, q).

qt
DÉFINITION 2. — Nous appelons lois de dérivation covariante mixte dans l'espace fibré
1 2
vectoriel E sur M, induites par un couple de dérivées covariantes D, D dans les
ffl7 (M)-modules des sections du type (0, 2), (1, 1) et (2, 0), les applications :

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