[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]

1974

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Presse et revues

614 pages

Titre : [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]

Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte

Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)

Date d'édition : 1974-03-01

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34374637v

Type : texte texte

Type : publication en série imprimée publication en série imprimée

Langue : français

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Description : 01 mars 1974 01 mars 1974

Description : 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30. 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30.

Droits : Consultable en ligne

Identifiant : ark:/12148/bpt6k6236817d

Source : Archives de l'Académie des sciences, 2012-37588

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 16/07/2012

C. R. Acad. Se. Paris, t. 278 (4 mars 1974) Série A — 685

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Valeurs-frontière des fonctions à variation bornée
sur un ouvert de R". Note (*) de M. Thierry de Gromard, présentée par M. Jacques-Louis
Lions.

Dans (1), M. Miranda donne l'existence d'une trace au bord d'un ouvert de R" pour les fonc-
tions à variation bornée sur cet ouvert, la frontière de celui-ci étant lipschtizienne. Ici nous défi-
nissons pour un ouvert quelconque de R" un opérateur de trace à valeurs dans les mesures sur R";
et suivant les propriétés de l'ouvert, nous étudions le domaine, les valeurs et la continuité de
cet opérateur. On se reportera à (2) pour les démonstrations.

1. NOTATIONS ET RAPPELS. - a. Q désigne toujours un ouvert de R".

Une fonction réelle u c- L'
Une fonction réelle u e Lloc (Q) est dite à variation bornée (resp. localement bornée)
dans Q si ses dérivées partielles au sens des distributions : D1 u, ., Dn u, sont des mesures
de Radon bornées (resp. des mesures de Radon) sur Q. On note BV (Q) [resp. BVloc (O)J
l'ensemble de ces fonctions, et D u la mesure variation totale de la mesure vectorielle
D M = (Dl M, ., D,, u), la norme étant la norme euclidienne sur R".

Un ensemble E de R" dont la fonction caractéristique (PE appartient à BV (Q)
[resp. BVloc (fi)] est dit de périmètre fini (resp. localement fini) dans O. Pour u e L^ (fi) et E
Io, (n) et E
ensemble mesurable de R", on pose

Il est clair que u appartient à BV (0) si et seulement si f niD u 1 < oo et dans ce cas
jn
on a -

Su 1 Du 1 = 1 Du 1 (0).

b. Soit E un ensemble quelconque de R".

La mesure extérieure de Lebesgue de E est notée Y" (E). Pour x e R" et p > 0, on
pose B (x, p) = {YERn : Iy-xl < p } et

E* = {xERn : Sn(X; E) = 1}, E* = R" - (R" - E)*, 3*E = E* E,.

Soit f une fonction définie sur un ensemble contenant E et soit x e E*. On dit
que f admet la limite approximative relativement à l'ensemble E au point x, si
(Vs > 0) Qn(x, {ye E : If(y)-ll > e }) = 0.

On note 1 = IEf(x).

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