[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]

1974

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Presse et revues

614 pages

Titre : [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]

Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte

Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)

Date d'édition : 1974-03-01

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34374637v

Type : texte texte

Type : publication en série imprimée publication en série imprimée

Langue : français

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Description : 01 mars 1974 01 mars 1974

Description : 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30. 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30.

Droits : Consultable en ligne

Identifiant : ark:/12148/bpt6k6236817d

Source : Archives de l'Académie des sciences, 2012-37588

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 16/07/2012

C. R. Acad. Se. Paris, t. 278 (22 avril 1974) Série A — 1087

ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur une généralisation du théorème de
Hahn-Banach. Note (*) de M. Pedro Jiménez Guerra, présentée par M. René
Garnier.

On démontre ici qu'un théorème sur les groupes abéliens, ressemblant au théorème de Hahn-
Banach, énoncé par M. Yves Hellegouarch (1) est incomplet. Cependant, le corollaire 1, dont les
autres conséquences ont été extraites, est vrai. Finalement, on donne un théorème comportant ce
corollaire, que généralise un autre théorème dû à Fuschssteiner [voir (2)].

1. Le théorème auquel nous faisons référence (E étant un groupe abélien) est le suivant :
THÉORÈME 1. — Soit une application
p: E→ R∪{ — ∞ } telle que P (x1 + X2) ≧ p(x1)+p(x2)
et soit une application p' : E R u { co } telle que p' (x1 + x2) p' (X1) +P' (x2). On
suppose que p p' et que p (— oo) [resp. p'- 1 (oo)] est égal à 0 ou à E; Si f est une
application Z-linéaire définie sur un sous-groupe F de E et si
p\E^f^p'\F,
alors il existe une prolongement f de f à E tel que
PÛÏÛP'.

Démonstration. - D'abord, l'existence d'un tel prolongement impliquerait
(1) p (x) + f(y) ≦ f(x) + f(y) =f(x + y) p' (x + y)
pour x e E et y e F.

Soient E = R x R, p (x) = inf (~, ~) et p' (x) = 1/2 (| | +|n |), où x 11),
F = (ç, 2 ç), {ç e R } et prenons /( £ , 2 ç) = que remplissent les conditions du
théorème 1.

Pour x = (2, 2), y = (-1, - 2) on déduit de (1) :

qui est absurde. Donc, le théorème 1 est faux.

2. Le corollaire 1 dont nous parlions est un cas particulier du théorème suivant :
THÉORÈME. — Soit E un semi-groupe préordonné, et soient
(1) p : E → R ∪ { — ∞ } superadditive;
(2) p' : E → R u { - oo } sous-additive;
(3) - oo < p (0) 0 p' (0).

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