Titre : [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)
Date d'édition : 1974-03-01
Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34374637v
Type : texte texte
Type : publication en série imprimée publication en série imprimée
Langue : français
Format : Nombre total de vues : 2816 Nombre total de vues : 2816
Description : 01 mars 1974 01 mars 1974
Description : 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30. 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30.
Droits : Consultable en ligne
Identifiant : ark:/12148/bpt6k6236817d
Source : Archives de l'Académie des sciences, 2012-37588
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 16/07/2012
C. R. Acad. Se. Paris, t. 278 (18 mars 1974) Série A — 867
GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE. - Compactification des espaces algébriques.
Note (*) de M. Jean-Claude Raoult, transmise par M. Henri Cartan.
En admettant qu'un espace algébrique normal, séparé et de type fini se plonge dans un espace
algébrique propre (3), on montre que ce résultat est encore vrai si l'on élimine l'hypothèse de
normalité. On passe par une étape intermédiaire où l'espace en question est réduit.
PROPOSITION 1. — Soient P un espace algébrique noethérien et séparé, F -> P une
immersion fermée et f : F → G un morphisme fini où G est aussi noetherien et séparé.
Il existe un espace algébrique noethérien et séparé Q, une immersion fermée G → Q et
un morphisme fini P -> Q tels que le carré résultant est cartésien et cocartésien. Si de
plus P et G sont propres sur un corps k, alors Q est aussi propre sur k.
PROPOSITION 2. — Soit Y un espace algébrique réduit, séparé et de type fini sur un
corps k. Il existe une immersion ouverte Y -> Y, où Y est un espace algébrique propre
sur k:
Démonstration de la proposition 1. — Elle utilise de façon essentielle le lemme suivant :
LEMME — Avec les notations de la proposition 1, il existe des recouvrements étales
affines W de G et V de P dont les images réciproques au-dessus de F sont égales.
En effet, si yeG, f -1 (y) est une réunion disjointe de points xi de F, et il existe
alors un voisinage étale affine W de y dont l'image réciproque au-dessus de F est la
réunion disjointe de voisinages étales affines U, des xi. Et si V est un voisinage étale
affine de x1 dans P, on peut même prendre W assez « petit» pour que U 1 domine V x p F.
On relève F (Ui) en une F (V)-algèbre V, étale au-dessus d'un voisinage ouvert affine
de xi. Quitte à réduire W, on peut supposer que U, est inclu dans V' x p F. Il ne reste
plus qu'à réduire V' pour les rendre égaux. On opère ainsi en tout point de f - 1 (y).
L'espace G étant noetherien est recouvert par un nombre fini de voisinages W.
On complète le recouvrement de F ainsi obtenu par un recouvrement fini de P - F,
d'où le résultat.
On part ensuite des recouvrements étales affines V de P et W de G, d'image réci-
proque U au-dessus de F. On construit leur somme amalgamée Z [ (2), (4)] et on met
sur Z la relation d'équivalence somme amalgamée des relations sur V et W.1 Le quotient
de Z par cette relation est un espace algébrique Q convenable.
Démonstration de la proposition 2. — Soit X -► Y une normalisation de Y, de
conducteur (2) f : F → G où G est un fermé de Y de codimension non nulle. On sait
qu'il existe une compactification X de X e); et, par récurrence, il existe une immersion
ouverte G -> G où G est propre sur k. En particulier, G est séparé et F → F x k G est
une immersion fermée. Soit F et F' les adhérences schématiques de F dans X et F x k G.
Le morphisme composé F' -+ F x k G -> F est propre et est un isomorphisme au-dessus
de F. Il existe un éclatement F-admissible F1 -> F tel que le transformé strict de F' est
isomorphe à F1 [(5), 5.7.12]. Le morphisme F! -+ G est propre et fini au-dessus
de G. Il existe un éclatement G-admissible G' → G tel que le transformé strict F2 de F 1
est fini sur G' [(5), 5.7.10]. Mais F2 s'identifie au transformé strict de F dans un
C. R., 1974, 1er Semestre. (T. 278, N° 12) - Série A — 61
GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE. - Compactification des espaces algébriques.
Note (*) de M. Jean-Claude Raoult, transmise par M. Henri Cartan.
En admettant qu'un espace algébrique normal, séparé et de type fini se plonge dans un espace
algébrique propre (3), on montre que ce résultat est encore vrai si l'on élimine l'hypothèse de
normalité. On passe par une étape intermédiaire où l'espace en question est réduit.
PROPOSITION 1. — Soient P un espace algébrique noethérien et séparé, F -> P une
immersion fermée et f : F → G un morphisme fini où G est aussi noetherien et séparé.
Il existe un espace algébrique noethérien et séparé Q, une immersion fermée G → Q et
un morphisme fini P -> Q tels que le carré résultant est cartésien et cocartésien. Si de
plus P et G sont propres sur un corps k, alors Q est aussi propre sur k.
PROPOSITION 2. — Soit Y un espace algébrique réduit, séparé et de type fini sur un
corps k. Il existe une immersion ouverte Y -> Y, où Y est un espace algébrique propre
sur k:
Démonstration de la proposition 1. — Elle utilise de façon essentielle le lemme suivant :
LEMME — Avec les notations de la proposition 1, il existe des recouvrements étales
affines W de G et V de P dont les images réciproques au-dessus de F sont égales.
En effet, si yeG, f -1 (y) est une réunion disjointe de points xi de F, et il existe
alors un voisinage étale affine W de y dont l'image réciproque au-dessus de F est la
réunion disjointe de voisinages étales affines U, des xi. Et si V est un voisinage étale
affine de x1 dans P, on peut même prendre W assez « petit» pour que U 1 domine V x p F.
On relève F (Ui) en une F (V)-algèbre V, étale au-dessus d'un voisinage ouvert affine
de xi. Quitte à réduire W, on peut supposer que U, est inclu dans V' x p F. Il ne reste
plus qu'à réduire V' pour les rendre égaux. On opère ainsi en tout point de f - 1 (y).
L'espace G étant noetherien est recouvert par un nombre fini de voisinages W.
On complète le recouvrement de F ainsi obtenu par un recouvrement fini de P - F,
d'où le résultat.
On part ensuite des recouvrements étales affines V de P et W de G, d'image réci-
proque U au-dessus de F. On construit leur somme amalgamée Z [ (2), (4)] et on met
sur Z la relation d'équivalence somme amalgamée des relations sur V et W.1 Le quotient
de Z par cette relation est un espace algébrique Q convenable.
Démonstration de la proposition 2. — Soit X -► Y une normalisation de Y, de
conducteur (2) f : F → G où G est un fermé de Y de codimension non nulle. On sait
qu'il existe une compactification X de X e); et, par récurrence, il existe une immersion
ouverte G -> G où G est propre sur k. En particulier, G est séparé et F → F x k G est
une immersion fermée. Soit F et F' les adhérences schématiques de F dans X et F x k G.
Le morphisme composé F' -+ F x k G -> F est propre et est un isomorphisme au-dessus
de F. Il existe un éclatement F-admissible F1 -> F tel que le transformé strict de F' est
isomorphe à F1 [(5), 5.7.12]. Le morphisme F! -+ G est propre et fini au-dessus
de G. Il existe un éclatement G-admissible G' → G tel que le transformé strict F2 de F 1
est fini sur G' [(5), 5.7.10]. Mais F2 s'identifie au transformé strict de F dans un
C. R., 1974, 1er Semestre. (T. 278, N° 12) - Série A — 61
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