[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]

1974

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Presse et revues

614 pages

Titre : [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]

Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte

Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)

Date d'édition : 1974-03-01

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34374637v

Type : texte texte

Type : publication en série imprimée publication en série imprimée

Langue : français

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Description : 01 mars 1974 01 mars 1974

Description : 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30. 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30.

Droits : Consultable en ligne

Identifiant : ark:/12148/bpt6k6236817d

Source : Archives de l'Académie des sciences, 2012-37588

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 16/07/2012

C. R. Acad. Se. Paris, t. 278 (18 mars 1974) Série A — 839

ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Théorèmes d'existence et unicité et d'approximation
numérique pour des problèmes de point selle. Note (*) de M. Franco Brezzi, présentée
par M. Jacques-Louis Lions.

On donne un théorème d'existence et unicité pour des problèmes de point selle d'un type que
l'on retrouve très souvent en utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange. On donne aussi
un théorème d'approximation pour ces problèmes et un exemple très simple d'application.

1. Soient V, W deux espaces d'Hilbert réels et soient a (u, v), b (v, cp) deux formes
bilinéaires continues sur VxV et V x W respectivement; on se donne également L ∈ V'
et TeW. On cherche dans V x W un couple (u,Ψ) satisfaisant à
(1) a(u, v) + L(v) + b(v,Ψ) = 0, VueV,
(2) b(u, cp)+T(cp) = 0, ∀ϕ∈W.

On remarque que, si a (u, v) est V-elliptique et symétrique, le problème (1)-(2) est
équivalent à la recherche du point de selle (u, Ψ) de la fonctionnelle
(3) Y (v, cp) = a (v, v) + L(v) + b(v,ϕ)+T(ϕ) sur V x W.

2

On définit l'opérateur B e Y (V, W') par
w'< Bv,ϕ>w = b (v, ϕ), VueV, ∀ϕ∈W.

PROPOSITION 1. — Les deux conditions suivantes sont équivalentes (7) :
(Hl) ∃α>0, ∀ϕ ∈ W, ∃v ∈ V, v≠0, b(v,ϕ)≧α||v||v||ϕ||w.

(H 2) 3 R e Y (W, V) tel que
BR = 1 (identité) sur W', ||R ||ℒ(W',V)≦α-1.

Supposons maintenant que (H 1) [ou (H 2)] soit vérifiée, et définissons, pour tout S e W',
V(S) = {v | v∈V, Bv = S}.

On aura V(S) e 0 pour tout S e W' ; on aura aussi, en particulier, que V(O) = ker (B)
est un sous-espace fermé non vide de V.

On fait maintenant une hypothèse d'ellipticité sur a (u, v) :
(HE) ∃y > 0, ∀v∈V(0), a(v,v)≧γ||v||~.

On a alors le théorème suivant.

THÉORÈME 1. - Sous les hypothèses (H 1) et (H E) le problème (1)-(2) admet une et
une seule solution. a
2. Soient maintenant Vh et Wh deux sous-espaces fermés de V et W respectivement.

On suppose qu'il existe une constante a' > 0 telle que :
(H1h) ∀ϕh∈Wh, ∃vh∈Vh, vh≠0, b{vh, cpj,) a' || vh||v Il cpfc IIw.

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