Titre : [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)
Date d'édition : 1974-03-01
Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34374637v
Type : texte texte
Type : publication en série imprimée publication en série imprimée
Langue : français
Format : Nombre total de vues : 2816 Nombre total de vues : 2816
Description : 01 mars 1974 01 mars 1974
Description : 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30. 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30.
Droits : Consultable en ligne
Identifiant : ark:/12148/bpt6k6236817d
Source : Archives de l'Académie des sciences, 2012-37588
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 16/07/2012
C. R. Acad. Se. Paris, t. 278 (18 mars 1974) Série A — 835
TOPOLOGIE DIFFÉRENTIELLE. - Sur l'existence des feuilletages de Lie.
Note (*) de M. Edmond Fedida, transmise par M. Jean Dieudonné.
On établit ici une obstruction cohomologique à l'existence des feuilletages de Lie sur les
variétés compactes; on en déduit en particulier qu'il n'existe pas sur les sphères de tels feuille-
tages; ou ce qui revient au même, qu'une sphère ne peut pas être fibrée (sauf cas triviaux) sur un
groupe de Lie compact connexe de dimension & 1.
On désigne par (5 une algèbre de Lie réelle de dimension q et par G un groupe de Lie
connexe ayant (fj pour algèbre de Lie.
Soit M une variété différentiable et soit co : TM -> (fj une forme différentielle de degré 1
sur M à valeurs dans (fj ayant les propriétés suivantes :
(i) dω + (1/2) [co, ω] = 0 (condition de Maurer-Cartan);
(ii) co (x) : Tx M -> © est surjective pour tout x ∈ M.
Dans ces conditions Û) détermine un feuilletage 5 de codimension q de M et on dira que
5 est un ~-feuilletage de Lie de M(3).
1. THÉORÈME. — Si un espace fibré E a pour base B un groupe de Lie compact connexe
et simplement connexe de dimension > 0, et si la cohomologie des fibres F de E est nulle en
dimension assez grande, alors le troisième nombre de Betti de E est non nul.
Démonstration. — On se ramène d'abord au cas où B = S3. Pour cela on utilise le fait
suivant :
Soit le rang de B, on sait (4) qu'il existe un produit de sphères, P = Sni x x S„t
et une application continue X : P -► B qui définit un isomorphisme sur la cohomologie
réelle. De plus, les ni sont les degrés des « primitifs » de la cohomologie de B, et on sait
que l'un d'eux est égal à 3. On peut donc écrire P = S3 x S, où S est un produit de sphères.
On forme alors l'espace fibré Ex de base P et de même fibre F, image réciproque de E -* B
par X : P -> B. Soit X : Ex -> E l'homomorphisme de fibrés correspondant; on
sait [(2), p. 40-41] dans ces conditions que X* : H*(E,R) → H* (Eλ,R) est un
isomorphisme. Quitte donc à remplacer E par Ex, on peut supposer que E est fibré de
base S3 x S et par projection sur le facteur S3 on voit finalement que E est unfibré de base S3.
La base étant à présent S3 on applique la suite exacte de Wang (5) :
e
→ H' (F) -> Hi-2 (F) -+ Hi+ 1 (E) -> Hi+1 (F)→.,
où l'opérateur 0 est une dérivation.
Si H3 (E, R) était nul, il existerait u e H2 (F) tel que 0 (M) = 1 E H° (F).
Mais la cohomologie de F s'arrête; on peut donc trouver un n tel que Un-l ≠0 et un = 0.
En dérivant par 0 la relation un = 0 on trouve n.un-1. 0 (u) = 0 d'où un-1 = 0,
contradiction.
C. R., 1974, 1er Semestre. (T. 278, N° 12) Série A — 59
TOPOLOGIE DIFFÉRENTIELLE. - Sur l'existence des feuilletages de Lie.
Note (*) de M. Edmond Fedida, transmise par M. Jean Dieudonné.
On établit ici une obstruction cohomologique à l'existence des feuilletages de Lie sur les
variétés compactes; on en déduit en particulier qu'il n'existe pas sur les sphères de tels feuille-
tages; ou ce qui revient au même, qu'une sphère ne peut pas être fibrée (sauf cas triviaux) sur un
groupe de Lie compact connexe de dimension & 1.
On désigne par (5 une algèbre de Lie réelle de dimension q et par G un groupe de Lie
connexe ayant (fj pour algèbre de Lie.
Soit M une variété différentiable et soit co : TM -> (fj une forme différentielle de degré 1
sur M à valeurs dans (fj ayant les propriétés suivantes :
(i) dω + (1/2) [co, ω] = 0 (condition de Maurer-Cartan);
(ii) co (x) : Tx M -> © est surjective pour tout x ∈ M.
Dans ces conditions Û) détermine un feuilletage 5 de codimension q de M et on dira que
5 est un ~-feuilletage de Lie de M(3).
1. THÉORÈME. — Si un espace fibré E a pour base B un groupe de Lie compact connexe
et simplement connexe de dimension > 0, et si la cohomologie des fibres F de E est nulle en
dimension assez grande, alors le troisième nombre de Betti de E est non nul.
Démonstration. — On se ramène d'abord au cas où B = S3. Pour cela on utilise le fait
suivant :
Soit le rang de B, on sait (4) qu'il existe un produit de sphères, P = Sni x x S„t
et une application continue X : P -► B qui définit un isomorphisme sur la cohomologie
réelle. De plus, les ni sont les degrés des « primitifs » de la cohomologie de B, et on sait
que l'un d'eux est égal à 3. On peut donc écrire P = S3 x S, où S est un produit de sphères.
On forme alors l'espace fibré Ex de base P et de même fibre F, image réciproque de E -* B
par X : P -> B. Soit X : Ex -> E l'homomorphisme de fibrés correspondant; on
sait [(2), p. 40-41] dans ces conditions que X* : H*(E,R) → H* (Eλ,R) est un
isomorphisme. Quitte donc à remplacer E par Ex, on peut supposer que E est fibré de
base S3 x S et par projection sur le facteur S3 on voit finalement que E est unfibré de base S3.
La base étant à présent S3 on applique la suite exacte de Wang (5) :
e
→ H' (F) -> Hi-2 (F) -+ Hi+ 1 (E) -> Hi+1 (F)→.,
où l'opérateur 0 est une dérivation.
Si H3 (E, R) était nul, il existerait u e H2 (F) tel que 0 (M) = 1 E H° (F).
Mais la cohomologie de F s'arrête; on peut donc trouver un n tel que Un-l ≠0 et un = 0.
En dérivant par 0 la relation un = 0 on trouve n.un-1. 0 (u) = 0 d'où un-1 = 0,
contradiction.
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