[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]

1974

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Presse et revues

614 pages

Titre : [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]

Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte

Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)

Date d'édition : 1974-03-01

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34374637v

Type : texte texte

Type : publication en série imprimée publication en série imprimée

Langue : français

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Description : 01 mars 1974 01 mars 1974

Description : 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30. 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30.

Droits : Consultable en ligne

Identifiant : ark:/12148/bpt6k6236817d

Source : Archives de l'Académie des sciences, 2012-37588

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 16/07/2012

C. R. Acad. Se. Paris, t. 278 (4 mars 1974) Série A — 653

THÉORIE DES NOMBRES, — L'image de la transformation de Fourier p-adique.

Note (*) de MM. Jean Fresnel et Bernard de Mathan, présentée par M. Jean
Leray.

Nous avons établi dans une Note précédente que la transformation de Fourier p-adique, relative
à Zp, n'était pas injective. Nous montrons ici qu'elle est surjective. Les définitions et les notations
sont celles de (2).

Nous démontrons que la transformation de Fourier 2F relative à Zp est surjective,
grâce à un résultat (proposition 1) déterminant son noyau avec plus de précision, ce qui
est naturel puisque l'étude de l'image de la transformation de Fourier, revient à celle de
l'algèbre LI (IF)/ker .9'. Nous reprenons, en l'affinant, la méthode exposée dans (2), en
particulier nous utilisons un résultat nouveau sur les fonctions analytiques (théorème 1).

Nous pouvons ainsi démontrer que la transformation de Fourier définit une isométrie
entre les algèbres de Banach LI (F)/ker 2F et W (Zp, K) (théorème 2), et grâce à ce résultat,
caractériser les pro-p-groupes à transformation de Fourier p-adique surjective (théorème 3).

1. UN THÉORÈME SUR LES FONCTIONS ANALYTIQUES. — Nous reprenons dans ce paragraphe
les notations de M. Lazard (4). Les zéros d'une fonction analytique f sur un disque non
circonférencié, regroupés par même valuation, permettent de définir un diviseur, appelé
diviseur de f Inversement, M. Lazard a démontré (4) que si le corps de base est
maximalement complet, tout diviseur est le diviseur d'une fonction analytique. Ici, nous
ne supposons plus le corps maximalement complet, et nous établissons le résultat suivant :
THÉORÈME 1. — Soit L un corps valué complet, M un nombre réel, AM l'anneau des
séries entières f (T) = 1 an T" à coefficients dans L, convergentes pour w (T) > M.

o
Soit D = TI Pn (T) un diviseur de AM, soit E > 0, alors il existe une fonction analytique f∈AM
«si
telle que Pn divise g pour tout n, g (0) = 1 et

Preuve. — On peut supposer M = 0. La valuation des racines de Pn est mil' la suite (mn)
est strictement décroissante, et lim mn = 0. Soit (m' n une suite telle que ~mn = mn ou 0,
et soit ts = E (m;fmJ
1 ««g i:9 s

LEMME 1. — Il existe une suite ( fs) de polynômes telle que

pour tout n > 1, R„ désignant le reste de la division de fs par Pn.

Ce lemme se démontre à peu près de la même façon que le lemme 4 de (4). Pour établir
le théorème 1, on choisit alors une suite (m)), comportant une infinité de termes non nuls,

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