Titre : [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)
Date d'édition : 1974-03-01
Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34374637v
Type : texte texte
Type : publication en série imprimée publication en série imprimée
Langue : français
Format : Nombre total de vues : 2816 Nombre total de vues : 2816
Description : 01 mars 1974 01 mars 1974
Description : 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30. 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30.
Droits : Consultable en ligne
Identifiant : ark:/12148/bpt6k6236817d
Source : Archives de l'Académie des sciences, 2012-37588
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 16/07/2012
C. R. Acad. Se. Paris, t. 278 (11 mars 1974) Série A - 799
ANALYSE NUMÉRIQUE. — Méthodes de descente associées à la discrétisation
en optimisation. Note (*) de M. Robert Boyer, présentée par M. Jacques-Louis
Lions.
On présente, pour la résolution d'un problème d'optimisation (issu par exemple d'un problème
variationnel) un nouvel algorithme obtenu en associant à la discrétisation d'un tel problème une
méthode de descente de type gradient avec projection.
Habituellement on résout de façon exacte la suite des problèmes discrétisés en utilisant par exemple
une méthode de descente de type gradient.
L'idée directrice de l'algorithme présenté est de n'effectuer à chaque étape de la discrétisation,
seulement qu'une (ou plusieurs itérations) itération de descente par la méthode envisagée.
Cette idée a déjà été exploitée par Loridan (1) avec la méthode des variations locales.
NOTATIONS ET HYPOTHÈSES. — Soit V un espace de Hilbert et X un convexe fermé de V.
Soit F une fonctionnelle définie sur V à valeurs dans R qu'on suppose :
[H 1] fortement convexe;
[H 2] Fréchet-dérivable. La dérivée F' vérifie
∃ M∈R +: ∀ x, ∀ y ∈ X, ∥F'(M)—F'(v)∥≦ M||u-v||
et telle que :
[H 3] lim F(M) = + oo.
∥ u∥→ + ∞
uex
PROBLÈME PRINCIPAL.
Problème n° 1 : Trouver M* e X tel que F (u*) F (v), V v e X.
D'après les hypothèses précédentes le problème n° 1 admet une solution unique.
DISCRÉTISATION [Aubin (2)]. - Soit { Vh, ph, r, 1 une approximation de V qu'on
suppose stable et convergente avec :
h : paramètre réel positif destiné à tendre vers zéro;
Vh : espace vectoriel de dimension N (h);
rh : application surjective ∈ ℒ (V, Vh) (restriction);
Ph : application injective e 2 (Vh, V) (prolongement).
On munit Vh de la norme
∥ Vh ∥h = ∥ Ph vh ∥v, ∀ vh∈Vh.
Pour chaque valeur de h, on considère le problème discrétisé suivant :
PROBLÈME DISCRÉTISÉ. — Soit Xh un convexe fermé de Vh tel que Ph Xh s;:; X.
Problème n° 1 (h) : Trouver uZ e Xh tel que F (Ph uZ) F (Ph Vh), ∀ vh ∈ Xh.
D'après les hypothèses précédentes, pour chaque valeur de h, le problème discrétisé 1 (h)
correspondant admet une solution uZ unique.
ANALYSE NUMÉRIQUE. — Méthodes de descente associées à la discrétisation
en optimisation. Note (*) de M. Robert Boyer, présentée par M. Jacques-Louis
Lions.
On présente, pour la résolution d'un problème d'optimisation (issu par exemple d'un problème
variationnel) un nouvel algorithme obtenu en associant à la discrétisation d'un tel problème une
méthode de descente de type gradient avec projection.
Habituellement on résout de façon exacte la suite des problèmes discrétisés en utilisant par exemple
une méthode de descente de type gradient.
L'idée directrice de l'algorithme présenté est de n'effectuer à chaque étape de la discrétisation,
seulement qu'une (ou plusieurs itérations) itération de descente par la méthode envisagée.
Cette idée a déjà été exploitée par Loridan (1) avec la méthode des variations locales.
NOTATIONS ET HYPOTHÈSES. — Soit V un espace de Hilbert et X un convexe fermé de V.
Soit F une fonctionnelle définie sur V à valeurs dans R qu'on suppose :
[H 1] fortement convexe;
[H 2] Fréchet-dérivable. La dérivée F' vérifie
∃ M∈R +: ∀ x, ∀ y ∈ X, ∥F'(M)—F'(v)∥≦ M||u-v||
et telle que :
[H 3] lim F(M) = + oo.
∥ u∥→ + ∞
uex
PROBLÈME PRINCIPAL.
Problème n° 1 : Trouver M* e X tel que F (u*) F (v), V v e X.
D'après les hypothèses précédentes le problème n° 1 admet une solution unique.
DISCRÉTISATION [Aubin (2)]. - Soit { Vh, ph, r, 1 une approximation de V qu'on
suppose stable et convergente avec :
h : paramètre réel positif destiné à tendre vers zéro;
Vh : espace vectoriel de dimension N (h);
rh : application surjective ∈ ℒ (V, Vh) (restriction);
Ph : application injective e 2 (Vh, V) (prolongement).
On munit Vh de la norme
∥ Vh ∥h = ∥ Ph vh ∥v, ∀ vh∈Vh.
Pour chaque valeur de h, on considère le problème discrétisé suivant :
PROBLÈME DISCRÉTISÉ. — Soit Xh un convexe fermé de Vh tel que Ph Xh s;:; X.
Problème n° 1 (h) : Trouver uZ e Xh tel que F (Ph uZ) F (Ph Vh), ∀ vh ∈ Xh.
D'après les hypothèses précédentes, pour chaque valeur de h, le problème discrétisé 1 (h)
correspondant admet une solution uZ unique.
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