Titre : [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)
Date d'édition : 1974-03-01
Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34374637v
Type : texte texte
Type : publication en série imprimée publication en série imprimée
Langue : français
Format : Nombre total de vues : 2816 Nombre total de vues : 2816
Description : 01 mars 1974 01 mars 1974
Description : 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30. 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30.
Droits : Consultable en ligne
Identifiant : ark:/12148/bpt6k6236817d
Source : Archives de l'Académie des sciences, 2012-37588
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 16/07/2012
C. R. Acad. Se. Paris, t. 278 (4 mars 1974) Série A — 649
NOTES DES MEMBRES ET CORRESPONDANTS
ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS
THÉORIE DES NOMBRES. - Sur l'équation fonctionnelle de Cauchy.
Note (*) de M. Yann Hollocou, présentée par M. René Garnier.
Démonstration d'une condition nécessaire et suffisante pour que l'équation fonctionnelle de
Cauchy définie sur un sous-ensemble stable pour l'addition de K" (K = R ou C), à valeurs dans
un espace vectoriel norné, n'admette pour solutions que les restrictions d'applications R-linéaires;
étude des solutions de cette équation lorsqu'elle est définie sur un sous-ensemble de R" ne possé-
dant que des propriétés métriques.
Soient m et n deux entiers naturels non nuls, m 2, et soient oc,, ., ∝m m éléments
de K" (K = R ou C). A étant un sous-ensemble de K, on pose
Soit (B, Il ||) un espace vectoriel normé sur K.
Nous nous proposons dans ce qui suit d'étudier l'ensemble des applications f unifor-
mément continues sur SA (1), à valeurs dans B et qui vérifient l'équation
1. ÉTUDE DE L'ÉQUATION FONCTIONNELLE LORSQUE A EST UNE PARTIE STABLE POUR
L'ADDITION QUI CONTIENT 0. — Soit V l'espace vectoriel sur K engendré par les m
vecteurs ∝1,.? ∝M
THÉORÈME 1. — Soit A une partie de K non réduite à { 0 }, stable pour l'addition et
telle que le sous-groupe G (A) engendré par A soit un anneau principal, discret, qui,
lorsque K est égal à C, soit différent de Z et stable pour l'opération x H x. Une condition
nécessaire et suffisante pour que les applications f vérifiant (★) soient les restrictions
d'applications R-linéaires de V dans B est que, pour tout entier j (1 j m), aj appar-
tienne à l'adhérence du sous-G (A)-module de K" engendré par les ak (1 k m, k # j).
Remarque. — On obtient le même résultat lorsque G (A) est dense dans K et lorsque,
pour tout entier j (1 ≦ j ≦ m), ∝j est combinaison linéaire sur K des ak restants.
Démonstration de la partie directe lorsque G (A) est égal à Z. — Il suffit, lorsque l'un
des a, par exemple ∝j, n'est pas adhérent au sous-groupe de R" engendré par
les afc (1 k m, k ≠j) de construire une application de Sz dans B qui ne se prolonge
pas en une application R-linéaire de V dans B.
Notons ( ) le produit scalaire usuel de R". Il existe un vecteur u de R" tel que
(u | ∝j) ∉ Z et (u ak) e Z (1 k m, k ≠ j).
Posons
Sur le complémentaire de ~S dans Sz, définissons une application (p à valeurs dans R"
qui à dj fait correspondre ∝j et à tout autre élément x de cet ensemble fait correspondre
NOTES DES MEMBRES ET CORRESPONDANTS
ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS
THÉORIE DES NOMBRES. - Sur l'équation fonctionnelle de Cauchy.
Note (*) de M. Yann Hollocou, présentée par M. René Garnier.
Démonstration d'une condition nécessaire et suffisante pour que l'équation fonctionnelle de
Cauchy définie sur un sous-ensemble stable pour l'addition de K" (K = R ou C), à valeurs dans
un espace vectoriel norné, n'admette pour solutions que les restrictions d'applications R-linéaires;
étude des solutions de cette équation lorsqu'elle est définie sur un sous-ensemble de R" ne possé-
dant que des propriétés métriques.
Soient m et n deux entiers naturels non nuls, m 2, et soient oc,, ., ∝m m éléments
de K" (K = R ou C). A étant un sous-ensemble de K, on pose
Soit (B, Il ||) un espace vectoriel normé sur K.
Nous nous proposons dans ce qui suit d'étudier l'ensemble des applications f unifor-
mément continues sur SA (1), à valeurs dans B et qui vérifient l'équation
1. ÉTUDE DE L'ÉQUATION FONCTIONNELLE LORSQUE A EST UNE PARTIE STABLE POUR
L'ADDITION QUI CONTIENT 0. — Soit V l'espace vectoriel sur K engendré par les m
vecteurs ∝1,.? ∝M
THÉORÈME 1. — Soit A une partie de K non réduite à { 0 }, stable pour l'addition et
telle que le sous-groupe G (A) engendré par A soit un anneau principal, discret, qui,
lorsque K est égal à C, soit différent de Z et stable pour l'opération x H x. Une condition
nécessaire et suffisante pour que les applications f vérifiant (★) soient les restrictions
d'applications R-linéaires de V dans B est que, pour tout entier j (1 j m), aj appar-
tienne à l'adhérence du sous-G (A)-module de K" engendré par les ak (1 k m, k # j).
Remarque. — On obtient le même résultat lorsque G (A) est dense dans K et lorsque,
pour tout entier j (1 ≦ j ≦ m), ∝j est combinaison linéaire sur K des ak restants.
Démonstration de la partie directe lorsque G (A) est égal à Z. — Il suffit, lorsque l'un
des a, par exemple ∝j, n'est pas adhérent au sous-groupe de R" engendré par
les afc (1 k m, k ≠j) de construire une application de Sz dans B qui ne se prolonge
pas en une application R-linéaire de V dans B.
Notons ( ) le produit scalaire usuel de R". Il existe un vecteur u de R" tel que
(u | ∝j) ∉ Z et (u ak) e Z (1 k m, k ≠ j).
Posons
Sur le complémentaire de ~S dans Sz, définissons une application (p à valeurs dans R"
qui à dj fait correspondre ∝j et à tout autre élément x de cet ensemble fait correspondre
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