[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]

1974

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Presse et revues

614 pages

Titre : [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]

Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte

Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)

Date d'édition : 1974-03-01

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34374637v

Type : texte texte

Type : publication en série imprimée publication en série imprimée

Langue : français

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Description : 01 mars 1974 01 mars 1974

Description : 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30. 1974/03/01 (SERA,T278,PART2)-1974/04/30.

Droits : Consultable en ligne

Identifiant : ark:/12148/bpt6k6236817d

Source : Archives de l'Académie des sciences, 2012-37588

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 16/07/2012

C. R. Acad. Se. Paris, t. 278 (11 mars 1974) Série A — 757

THÉORIE DU,POTENTIEL. - Simplexes et espaces harmoniques. Note (*) de
MM. Jürgen Bliedtner et Wolfhard Hansen, présentée par M. Szolem
Mandelbrojt.

On généralise au cas des espaces harmoniques de Bauer ou de Constantinescu-Cornea le théorème
suivant : L'espace H des fonctions continues sur l'adhérence d'un ouvert relativement compact U et
harmoniques dans U est un espace simplicial [voir (3), (6)]. De plus, les mesures de représentation
maximales sont obtenues par balayage sur la frontière de Choquet de H.

1. RAPPELS. — Étant donné un espace compact métrisable X, on notera C (X) l'espace
des fonctions réelles continues sur X, muni de la convergence uniforme, et M1+ (X) l'espace
des mesures positives et normées.

Soit H un sous-espace séparant de C (X), contenant les constantes, H' le dual
topologique de H et H" son cône positif. Soit E : ~t-~ εx l'application canonique de X
dans H'+, et soit S (H) = co [e (X)] l'enveloppe convexe fermée de e (X) pour a (H', H).

On sait que l'ensemble des points extrémaux de S (H) s'identifie, par s, à la frontière de
Choquet ChH X de l'espace H dans X. On notera W (H) = { h1 A A hn; hi e H, n e N }.

DÉFINITION 1. - On dit que l'espace H est simplicial, si le convexe compact S (H)
est un simplexe.

DÉFINITION 2. - On appelle dilatation faiblement affine (pour H) une application
D : X -> M1+ (X) ayant les propriétés suivantes :
1° Pour toute se W (H), on a D s s où D s (x) = D (x) (s).

2° Il y a un cône convexe Wo c= W (H), stable par inf et linéairement séparant, tel que
pour toute w e W0, on a D w = sup ua, où { ua } est un ordonné filtrant croissant de
fonctions de H.

Le théorème de représentation simpliciale est le suivant [voir (6), (7) ] :
THÉORÈME 3. — Les propositions suivantes sont équivalentes :
(1) H est simplicial.

(2) Pour l'ordre naturel, H vérifie le lemme de décomposition de Riesz.

(3) Pour tout compact K c ChH X, toute fonction de C (K) peut être prolongée en une
fonction de H avec la même norme.

(4) Il y a une dilatation D faiblement affine pour H.

Si les propriétés sont vérifiées, on a ChH X = { x e X; D (x) = Ex }.

2. CONSTRUCTION DES DILATATIONS FAIBLEMENT AFFINES. — Soit (Y, H) un espace harmo-
nique de Bauer (2) ou de Constantinescu-Cornea (5) tel que Y est métrisable et H (Y)
contient les constantes et sépare les points de Y. On désignera par X l'adhérence d'un

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