Titre : [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série A, Sciences mathématiques]
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)
Date d'édition : 1974-11-01
Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34374637v
Type : texte texte
Type : publication en série imprimée publication en série imprimée
Langue : français
Format : Nombre total de vues : 2816 Nombre total de vues : 2816
Description : 01 novembre 1974 01 novembre 1974
Description : 1974/11/01 (SERA,T279,PART3)-1974/12/31. 1974/11/01 (SERA,T279,PART3)-1974/12/31.
Droits : Consultable en ligne
Identifiant : ark:/12148/bpt6k6226936t
Source : Archives de l'Académie des sciences, 2012-37588
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 28/03/2014
- Aller à la page de la table des matières1
- COMPTES RENDUS DES SÉANCES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES
- SÉRIE A. - SCIENCES MATHÉMATIQUES
- I. - PARTIE SCIENTIFIQUE
- II. - AUTEURS
C. R. Acad. Se. Paris, t. 279 (4 novembre 1974) Série A — 731
NOTES DES MEMBRES ET CORRESPONDANTS
ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS
ALGÈBRE DES CATÉGORIES. - Ditopos.
Note (*) de M. Dominique Bourn, présentée par M. Szolem Mandelbrojt.
A partir de l'étude de cofibrations scindées dans une 2-catégorie, on définit les ditopos, géné-
ralisation des topos aux 2-catégories; cette notion est peut-être plus intrinsèque que celle des
2-topos, introduite par R. Street (3).
1. COFIBRATIONS SCINDÉES DANS UNE 2-CATÉGORIE. — Soit Cat la 2-catégorie des catégories
associées à un univers ôlt. Si C est une 2-catégorie, on notera C/e, pour tout objet e de C,
la 2-catégorie dont les objets sont les 1-morphismes de C au-dessus de e, les 1-morphismes
étant les triangles commutatifs au-dessus de e et les 2-morphismes étant définis de manière
évidente. On notera C//e la 2-catégorie dont les objets sont les 1-morphismes au-dessus
de e, les 1-morphismes étant les quadruplets de la forme (f', r, g,f), où f et f' sont des
objets de Clle, où g est un 1-morphisme de C de la source de /vers celle de/' et où r est
un 2-morphisme de f g vers/ ; les 2-morphismes sont définis de manière évidente.
Soit C une 2-catégorie. Soit 2 la catégorie ayant deux objets 0 et 1 et un unique
morphisme cp entre 0 et 1. Si C admet des catalimites e) pour les foncteurs de source 2,
on dira que C est à cataproduits fibrés. Dans ce cas, soit f un 1-morphisme de C; on
notera (f, ~) le cataproduit fibré naturalisé associé à/ On construit, pour tout objet e de C,
un 2-triple Te = (Te, ~Xe, |ie) sur C/e, dont l'endofoncteur est défini par Te (f) = xf (1)
et dont la 2-catégorie de Kleisli est C//e.
Lorsque C = Cat, on en déduit :
PROPOSITION 1. — Pour toute catégorie D, la 2-catégorie des algèbres de TD est isomorphe
à la 2-catégorie X (Cat, D) des transformations naturelles entre foncteurs de D vers Cat,
c'est-à-dire la 2-catégorie des cofibrations scindées, avec scindage donné, au-dessus de D.
En raisonnant de même à partir des anaproduits fibrés, on obtiendrait un 2-triple dont les
algèbres seraient les fibrations scindées, avec scindage donné, au-dessus de D.
Dans la suite, cofibration (ou fibration) scindée signifiera cofibration (ou fibration)
scindée avec scindage donné. -
DÉFINITION 1. — Si C est une 2-catégorie à cataproduits fibrés, les algèbres de TE sont
appelées cofibrations scindées au-dessus de e.
Pour tout 1-morphisme f de e vers e', on vérifie que le foncteur Ey de C/e vers C/e'
induit un 2-foncteur de Clle vers C//e' et que, s'il existe, le 2-foncteurf* de C/e' vers C/e
détermine un 2-foncteur entre les 2-catégories des algèbres de Te et de Te. D'où :
PROPOSITION 2. — Les cofibrations scindées de C sont stables par changement de base.
Soit (f, b) une cofibration scindée dans C au-dessus de e. On lui associe une catégorie
interne f, b dans C de la façon suivante : l'objet des objets est la source de f, l'objet des
morphismes est f l'application source est Tf (0), l'application but est b, l'insertion des
NOTES DES MEMBRES ET CORRESPONDANTS
ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS
ALGÈBRE DES CATÉGORIES. - Ditopos.
Note (*) de M. Dominique Bourn, présentée par M. Szolem Mandelbrojt.
A partir de l'étude de cofibrations scindées dans une 2-catégorie, on définit les ditopos, géné-
ralisation des topos aux 2-catégories; cette notion est peut-être plus intrinsèque que celle des
2-topos, introduite par R. Street (3).
1. COFIBRATIONS SCINDÉES DANS UNE 2-CATÉGORIE. — Soit Cat la 2-catégorie des catégories
associées à un univers ôlt. Si C est une 2-catégorie, on notera C/e, pour tout objet e de C,
la 2-catégorie dont les objets sont les 1-morphismes de C au-dessus de e, les 1-morphismes
étant les triangles commutatifs au-dessus de e et les 2-morphismes étant définis de manière
évidente. On notera C//e la 2-catégorie dont les objets sont les 1-morphismes au-dessus
de e, les 1-morphismes étant les quadruplets de la forme (f', r, g,f), où f et f' sont des
objets de Clle, où g est un 1-morphisme de C de la source de /vers celle de/' et où r est
un 2-morphisme de f g vers/ ; les 2-morphismes sont définis de manière évidente.
Soit C une 2-catégorie. Soit 2 la catégorie ayant deux objets 0 et 1 et un unique
morphisme cp entre 0 et 1. Si C admet des catalimites e) pour les foncteurs de source 2,
on dira que C est à cataproduits fibrés. Dans ce cas, soit f un 1-morphisme de C; on
notera (f, ~) le cataproduit fibré naturalisé associé à/ On construit, pour tout objet e de C,
un 2-triple Te = (Te, ~Xe, |ie) sur C/e, dont l'endofoncteur est défini par Te (f) = xf (1)
et dont la 2-catégorie de Kleisli est C//e.
Lorsque C = Cat, on en déduit :
PROPOSITION 1. — Pour toute catégorie D, la 2-catégorie des algèbres de TD est isomorphe
à la 2-catégorie X (Cat, D) des transformations naturelles entre foncteurs de D vers Cat,
c'est-à-dire la 2-catégorie des cofibrations scindées, avec scindage donné, au-dessus de D.
En raisonnant de même à partir des anaproduits fibrés, on obtiendrait un 2-triple dont les
algèbres seraient les fibrations scindées, avec scindage donné, au-dessus de D.
Dans la suite, cofibration (ou fibration) scindée signifiera cofibration (ou fibration)
scindée avec scindage donné. -
DÉFINITION 1. — Si C est une 2-catégorie à cataproduits fibrés, les algèbres de TE sont
appelées cofibrations scindées au-dessus de e.
Pour tout 1-morphisme f de e vers e', on vérifie que le foncteur Ey de C/e vers C/e'
induit un 2-foncteur de Clle vers C//e' et que, s'il existe, le 2-foncteurf* de C/e' vers C/e
détermine un 2-foncteur entre les 2-catégories des algèbres de Te et de Te. D'où :
PROPOSITION 2. — Les cofibrations scindées de C sont stables par changement de base.
Soit (f, b) une cofibration scindée dans C au-dessus de e. On lui associe une catégorie
interne f, b dans C de la façon suivante : l'objet des objets est la source de f, l'objet des
morphismes est f l'application source est Tf (0), l'application but est b, l'insertion des
Le taux de reconnaissance estimé pour ce document est de 98.5%.
En savoir plus sur l'OCR
En savoir plus sur l'OCR
Le texte affiché peut comporter un certain nombre d'erreurs. En effet, le mode texte de ce document a été généré de façon automatique par un programme de reconnaissance optique de caractères (OCR). Le taux de reconnaissance estimé pour ce document est de 98.5%.
- Auteurs similaires Bibliographie de la presse française politique et d'information générale Bibliographie de la presse française politique et d'information générale /services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&maximumRecords=50&collapsing=true&exactSearch=true&query=colnum adj "BIPFPIG00"Fonds régional : Île-de-France Fonds régional : Île-de-France /services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&maximumRecords=50&collapsing=true&exactSearch=true&query=colnum adj "IledeFr1"
-
-
Page
chiffre de pagination vue 15/290
- Recherche dans le document Recherche dans le document https://gallica.bnf.fr/services/ajax/action/search/ark:/12148/bpt6k6226936t/f15.image ×
Recherche dans le document
- Partage et envoi par courriel Partage et envoi par courriel https://gallica.bnf.fr/services/ajax/action/share/ark:/12148/bpt6k6226936t/f15.image
- Téléchargement / impression Téléchargement / impression https://gallica.bnf.fr/services/ajax/action/download/ark:/12148/bpt6k6226936t/f15.image
- Mise en scène Mise en scène ×
Mise en scène
Créer facilement :
- Marque-page Marque-page https://gallica.bnf.fr/services/ajax/action/bookmark/ark:/12148/bpt6k6226936t/f15.image ×
Gérer son espace personnel
Ajouter ce document
Ajouter/Voir ses marque-pages
Mes sélections ()Titre - Acheter une reproduction Acheter une reproduction https://gallica.bnf.fr/services/ajax/action/pa-ecommerce/ark:/12148/bpt6k6226936t
- Acheter le livre complet Acheter le livre complet https://gallica.bnf.fr/services/ajax/action/indisponible/achat/ark:/12148/bpt6k6226936t
- Signalement d'anomalie Signalement d'anomalie https://sindbadbnf.libanswers.com/widget_standalone.php?la_widget_id=7142
- Aide Aide https://gallica.bnf.fr/services/ajax/action/aide/ark:/12148/bpt6k6226936t/f15.image × Aide
Facebook
Twitter
Pinterest