Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences... Série A et B : sciences mathématiques. Sciences physiques / Académie des sciences ; [dir. publ. Guy de Dampierre]
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Source : Bibliothèque nationale de France, département Collections numérisées, 2008-226741
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 11/10/2012
C. R. Acad. Se. Paris, t. 280 (24 mars 1975) Série A — 773
ALGÈBRE DES CATÉGORIES. — Structures et opérations initiales et finales.
Note (*) de M. Robert Durand, présentée par M. Szolem Mandelbrojt.
Dans une Note précédente (1), nous avons défini et étudié les systèmes (K', p, K)-injectifs et les systèmes (K', p, K)-surjectifs. Nous appliquons ici ces notions à la définition et à l'étude des structures et opérations initiales et finales.
STRUCTURES. — Soient p = (K', p, H') un foncteur, K' et K deux sous-ensembles de K, L un ensemble non vide. Un élément Z e H'0 est une p-structure (ou structure) sur e e H'0 si p (Z) = e. Un élément ƒ ∈ K est morphologique pour (Z', Z) e H* 0 x H'0 (relativement à p) s'il existe h e H tel que oc (h) = Z, (3 (h) = Z' et p (h) = f Lorsque Z et Z1 sont deux structures sur e e K'Q, on dit que Z est plus fine que Z1 (ou Zx moins fine que Z) si e est morphologique pour (Zl, Z). On a ainsi un préordre sur H'0.
DÉFINITION 1. — Soient (Zk ), c - , une famille de p-structures, (ƒλ)λ ∈ L une famille d'élé- ments de K et Z une p-structure. On dit que Z est une structure (K', p, K)-initiale pour (Z'λ, ƒλ)λ ∈ L s'il existe (jλ)λ ∈ L ∈ ((K', p, K)) tel que ce (À) = Z, P (jλ) = Z, et p (A) = h quel que soit UL.
Les structures finales se définissent par dualité; soit p* le foncteur dual de p : Z' est une structure (K', p, K)-finale pour (fλ, Zλ)λ ∈ L si et seulement si Z' est une structure (K', p*, K)-initiale pour (Zk, fk)k c- L*
PROPOSITION 1. - Si Z est une structure (p, K)-initiale pour (Z'λ, ƒλ)λ ∈ L, on a les pro- priétés suivantes : (i) Pour tout λ ∈ L, h est morphologique pour (Zx', Z).
(ii) Pour tout Zl e H0 et tout g' ∈ K de but p (Z) et de source p (Zj), g' est morpholo- gique pour (Z, ZJ si et seulement si h g' est morphologique pour (Zx, Z1) quel que soit λ ∈ L.
Inversement, si Z vérifie (i) et (ii) et si p est fidèle, Z est une structure (p, K)-initiale pour (Z'λ, ƒλ)λ ∈ L.
COROLLAIRE. - Si Z est une structure {p, K)-initiale pour (Zx'l fl)l c- L et e = ri. (fx) E K, Z est moins fine que toutes les structures sur e rendant les fx morphologiques (la moins fine de toutes lorsque la relation « Z est moins fine que Zl » est une relation d'ordre).
PROPOSITION 2. - Soient K1 et Ki deux sous-ensembles de K tels que K1 ci K et Ki ::) K'. Toute structure (K', p, K)-initiale est une structure (K'1, p, Ky)-initiale pour la même famille.
PROPOSITION 3. - Si K définit une sous-catégorie K* de K* et Pl est le foncteur res- triction de p de (p -1 (K))' vers K-, les structures (K, p, K)-initiales pour une famille donnée sont les structures pl-initiale pour la même famille.
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