Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

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308 pages

Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte

Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)

Date d'édition : 1973-02-01

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34416987n

Type : texte texte

Type : publication en série imprimée publication en série imprimée

Langue : français

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Description : 01 février 1973 01 février 1973

Description : 1973/02/01 (SERA,T276,PART1)-1973/02/28. 1973/02/01 (SERA,T276,PART1)-1973/02/28.

Droits : Consultable en ligne

Identifiant : ark:/12148/bpt6k6217214v

Source : Archives de l'Académie des sciences

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 26/06/2012

C. R. Acad. Sc. Paris, t. 276 (26 février 1973) Série A — 673

ALGÈBRE DES CATÉGORIES. — 2-catégories représentables associées à
une catégorie cartésienne fermée. Note (*) de M. PIERRE YARIOT, présentée
par M. René Garnier.

Si V est une catégorie munie d'une structure cartésienne fermée et d'un objet
cocatégorie dans V, alors V est la catégorie des morphismes d'une 2-catégorie
représentable et coreprésentable. Ces résultats sont développés dans (4).

1. MORPHISMES ENTRE MONADES. — Si C = (C', C1) est une 2-catégorie,
on distingue parmi les éléments de C les objets (objets de C'), les mor-
phismes (objets de C1) et les hypermorphismes. On note ~1 la catégorie (C10 ).

des morphismes.

On appelle C-monade sur e un triplet te = (t, η, ~JA) composé d'un mor-
phisme t : e -> e de C et de deux hypermorphismes η : e →t et ~tL : t. t -+ t
de C tels que :
[j. J_ η.t = ~⊥ t.η = t et J_ t = jji J_ jm.

Si te' = (t', η', ~') est aussi une e-monade sur e', un morphisme (resp.

un comorphisme) de e-monades (f, o) : te -v te. est la donnée d'un mor-
phisme f : e -> e' de C et d'un hypermorphisme M tels que -
? ±r,'.f = f. et f.p f.cp = ca J_ n'.f
(resp. [J-' f ⊥ t'. ϕ ± ϕ. t = ϕ ± f.~ et cp ⊥ f. 'r¡ = °r¡'. f).

Les morphismes (resp. comorphismes) entre (S-monades forment une
catégorie.

Exemples. — Si C est la 2-catégorie N des transformations naturelles,
on obtient ainsi les catégories T r des morphismes entre triples et ïr
des comorphismes entre triples. Sur la 2-catégorie HN des transformations
naturelles doubles entre 2-catégories, on définit une monade dont l'endo-2-
foncteur sous-jacent associe à une 2-catégorie C la 2-catégorie des hyper-
morphismes (resp. des hypercomorphismes) entre (3-monades, qui a la
catégorie des morphismes (resp. des comorphismes) entre (~-monades
pour catégorie de ses morphismes.

2. THÉORÈME DE GRAY (3). — Une 2-catégorie C est représentable si
le foncteur insertion de (3* vers C' admet un coadjoint.

Soit K' une sous-catégorie d'une catégorie H'. On note Ni (K. | H')
la sous-catégorie de la catégorie Ni (H') des foncteurs (structurés) e)
dans H' dont les morphismes sont les foncteurs dans H' ayant pour
« morphisme des objets » un morphisme de K'. On note Nt la sous-catégorie
pleine de la catégorie Ni des foncteurs dont les objets sont les catégories
à produits fibrés finis.

C. R., 1973, 1er Semestre. (T. 276, N° 9.) Série A — 48

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