Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

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1802 pages

Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Séries A et B, Sciences mathématiques et Sciences physiques

Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte

Éditeur : Gauthier-Villars (Paris)

Date d'édition : 1971-01-01

Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb34416987n

Type : texte texte

Type : publication en série imprimée publication en série imprimée

Langue : français

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Description : 01 janvier 1971 01 janvier 1971

Description : 1971/01/01 (SERA,T272)-1971/06/30. 1971/01/01 (SERA,T272)-1971/06/30.

Droits : Consultable en ligne

Identifiant : ark:/12148/bpt6k480300n

Source : Archives de l'Académie des sciences

Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France

Date de mise en ligne : 17/12/2007

C. R. Acad. Se. Paris, t. 272 (4 janvier 1971). Série A — 13

ALGÈBRE DES CATÉGORIES. Pureté et platitude dans les catégories de
modules généralisés. Note (*) de M. SAMI HARARI, présentée par M. René
Garnier.

Étude de la catégorie des G-modules, où e est une petite catégorie préadditive.
Généralisation des notions de morphisme pur et de module plat. Critères de pureté
et de platitude.

1. DÉFINITIONS. Soient e une petite catégorie préadditive, e* sa
duale, Abe la catégorie des foncteurs additifs covariants de e vers Ab.
Ses objets seront appelés des C-modules, et ses morphismes des morphismes
de (3-modules (1).

NOTATIONS. Si p est un objet de C, on pose

DÉFINITION. Un e-module M est libre (resp. libre de type fini) s'il
existe une famille (resp. une famille finie) (pi)i∈I d'objets de e telle que

DÉFINITION. Un e-module M est dit de présentation finie s'il existe
deux familles finies d'objets de e et une suite exacte

LEMME. — Tout e-module M est quotient d'un G-module libre.
LEMME. — Tout C-module M est une limite inductive filtrante de e-modules
de présentation finie.

Le produit tensoriel ⊗ e2 de deux petites catégories préadditives Ci
et e2 est (3) la catégorie préadditive dont la classe des objets est |e1 |×| e2|
et où le groupe abélien des morphismes de (p1, pa) à (q,, q2) est le produit
tensoriel ordinaire de groupes abéliens e1(p1, q,) ⊗ C2 (Pl, q2).
2. PRODUIT TENSORIEL DE e-MODULES.

DÉFINITION. — est un foncteur de Ab défini par

pour M∈Abe* et N∋Abe.

Il est bien connu que ⊗e est exact à droite, préserve les colimites et
en particulier commute avec les coproduits.

C. R., 1971, 1er Semestre. (T. 272, N° 1.) Série A 2

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