Presse et revues
1477 pages
Titre : Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences / publiés... par MM. les secrétaires perpétuels
Auteur : Académie des sciences (France). Auteur du texte
Éditeur : Bachelier (Paris)
Éditeur : Gauthier-VillarsGauthier-Villars (Paris)
Date d'édition : 1965-03-01
Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb343481087
Type : texte texte
Type : publication en série imprimée publication en série imprimée
Langue : français
Format : Nombre total de vues : 454219 Nombre total de vues : 454219
Description : 01 mars 1965 01 mars 1965
Description : 1965/03/01 (T260)-1965/03/31. 1965/03/01 (T260)-1965/03/31.
Description : Collection numérique : Originaux conservés aux... Collection numérique : Originaux conservés aux archives de l'Académie des sciences
Description : Collection numérique : Collections de l’École... Collection numérique : Collections de l’École nationale des ponts et chaussées
Description : Collection numérique : Thématique :... Collection numérique : Thématique : mathématiques, mécanique, sciences naturelles
Droits : Consultable en ligne
Identifiant : ark:/12148/bpt6k4018j
Source : Bibliothèque nationale de France
Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 15/10/2007
C. R. Acad. Se. Paris, t. 260 (1er mars 1965).. Groupe 1.
2392
ALGÈBRE UOMOLOGFQUE. Cohomologie non ~M~ préliminaires.
Note (*) de M. JEAN GmAUD, présentée par M. Jean Leray.
Définition et étude d'invariants de nature cohomologique (de degré 2) qui s'intro-
~°~ groupe d'au~morSîsne~ Pas
duisent lorsqu'on applicable des objets dont le groupe d'automorphismes n'est pas
abélien. Théorie applicable à toute cohomologie définissable en termes de topos.
1. Dans tout ce qui suit on fixe un univers U et l'on ne considère que
des ~-catégories, i. o. telles que pour tout couple (x, y) d'objets on ait
Card(Hom(x, une catégorie et J une topologie, tel que la catégorie des U-faisceaux
d'ensembles sur E soit un U-topos [(~, (~j. Par exemple, E est un site
élément de U ou un U-topos.
2. PRÉFAISCEAU DES E-MORpïusMES. Soient F une E-catégorie
fibrée, S un objet de E et (x, y) des objets de la catégorie fibre F, de F
en S [(~), (')]. Si F est munie d'un scindage qui, à toute nèche f T S de E
associe un foncteur image inverse ~:F,~F,, on dénnira un préfaisceau
d'ensembles sur E/S en posant
pour tout objet /:T-~S de E/S. Si F est seulement fibrée on procèdera
de même après avoir plongé F dans une E-catégorie scindée E-équi-
valcntc [(~), chap. 5]. Le préfaisceau Homs(x, y) est alors défini à iso-
morphisme unique près. On dira que F est précomplète (resp. complète)
si J est moins fine que la topologie de la F-dcscente (resp. F-descente
eitective) [(~), chap. 6]. La première condition signifie également que
les No~s(~) sont des faisceaux (sur E/S pour la topologie induite).
3. COMPLÉTION D'UNE CATÉGORIE FIBRÉE.
THÉORÈME. toute E-catégorie fibrée F est ~cK~e maf2ière fonctorielle
un b-o~c~ cartésien cF:F CF que (i) CF est complète et scindée (").
(ii) pour toute E-catégorie fibrée et complète G on a une équivalence
r:~wM/(CF, G) -o/Mcwv(F, G), c(M) ==~ocF,
On dira que CF est la complétée de F. On construit d'abord une E-caté-
gorie ubrée précomplète F' avec Ob(F~)=Ob(F), les S-morphismes de x
dans y étant les sections sur S du faisceau associé à 7~(~, y). On prouve
que F' est universelle (au sens habituel cette fois) pour les morphismes de F
dans une catégorie précomplète. On peut alors supposer F précomplète
et l'on pose f
2392
ALGÈBRE UOMOLOGFQUE. Cohomologie non ~M~ préliminaires.
Note (*) de M. JEAN GmAUD, présentée par M. Jean Leray.
Définition et étude d'invariants de nature cohomologique (de degré 2) qui s'intro-
~°~ groupe d'au~morSîsne~ Pas
duisent lorsqu'on applicable des objets dont le groupe d'automorphismes n'est pas
abélien. Théorie applicable à toute cohomologie définissable en termes de topos.
1. Dans tout ce qui suit on fixe un univers U et l'on ne considère que
des ~-catégories, i. o. telles que pour tout couple (x, y) d'objets on ait
Card(Hom(x, une catégorie et J une topologie, tel que la catégorie des U-faisceaux
d'ensembles sur E soit un U-topos [(~, (~j. Par exemple, E est un site
élément de U ou un U-topos.
2. PRÉFAISCEAU DES E-MORpïusMES. Soient F une E-catégorie
fibrée, S un objet de E et (x, y) des objets de la catégorie fibre F, de F
en S [(~), (')]. Si F est munie d'un scindage qui, à toute nèche f T S de E
associe un foncteur image inverse ~:F,~F,, on dénnira un préfaisceau
d'ensembles sur E/S en posant
pour tout objet /:T-~S de E/S. Si F est seulement fibrée on procèdera
de même après avoir plongé F dans une E-catégorie scindée E-équi-
valcntc [(~), chap. 5]. Le préfaisceau Homs(x, y) est alors défini à iso-
morphisme unique près. On dira que F est précomplète (resp. complète)
si J est moins fine que la topologie de la F-dcscente (resp. F-descente
eitective) [(~), chap. 6]. La première condition signifie également que
les No~s(~) sont des faisceaux (sur E/S pour la topologie induite).
3. COMPLÉTION D'UNE CATÉGORIE FIBRÉE.
THÉORÈME. toute E-catégorie fibrée F est ~cK~e maf2ière fonctorielle
un b-o~c~ cartésien cF:F CF que (i) CF est complète et scindée (").
(ii) pour toute E-catégorie fibrée et complète G on a une équivalence
r:~wM/(CF, G) -o/Mcwv(F, G), c(M) ==~ocF,
On dira que CF est la complétée de F. On construit d'abord une E-caté-
gorie ubrée précomplète F' avec Ob(F~)=Ob(F), les S-morphismes de x
dans y étant les sections sur S du faisceau associé à 7~(~, y). On prouve
que F' est universelle (au sens habituel cette fois) pour les morphismes de F
dans une catégorie précomplète. On peut alors supposer F précomplète
et l'on pose f
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