Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 15/10/2007
C. R. Acad. Se. Paris, t. 260 (4 janvier 1965). Groupe 1.
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ALGÈBRE HOMOLOGIQUE. Expansion g~~e/e des foncteurs. Note (*) de M. CnARms EupESMANN, présentée par M. Henri Villat. Étant donné un foncteur p de H' vers K' et un «couple p-admissible » ( F, F\ où FcK, F c H, on prolonge d'une façon universelle p en un foncteur p d'une catégorie H', qui est une F-expansion de H', vers K', de sorte que F soit formé de p-surjections et que p(F)=FetFcF.
Cette Note fait suite à ('), dont nous reprenons les notations. Si H' est une catégorie et F une sous-classe de H, nous désignons par
Ry(H') F) la classe des ~€=H tels que les conditions
A./=A. oa /eF et /'€F,
entraînent f = f'; par R,<(F, H') la classe des A~H tels qu'on ait ~==/ si/A=f.A,€Fetf€F.
1. EXPANSION ASSOCIÉE A UN COUPLE p-AD.MISSIBLE.
DÉFINITION 1. Soit H' une catégorie. On dira que H' est une F-e~pa~- sion de C' si les conditions suivantes sont vérinées
(i) C' est un sous-graphe multiplicatif (~) de H';
(2) On a FcR~H',C),(3) Les conditions (2), (3) et (4) de la définition d'une expansion semi- régulière [voir (~)] sont vérifiées.
En particulier, si H' est une expansion semi-régulière de C', alors H' est aussi une expansion de. C*.
Soit p == (K', p, H') un foncteur.
DÉFINITION 2. On dira que (F, F) est un couple p-admissible si les conditions suivantes sont vérinées
(i) F' est une sous-catégorie de H* telle que F~ = H; et H' est une F-expansion de H'; on a
FcK, ~(F)=~(H;)c~;
(2) La restriction de p à F' est fidèle et
(a) ~(F)cFnR~(Fu~(H),K');
(3) Si/'<=F,/K=H,~€:H,c((~)=K(//), p(~)=p(~) et/p(/t)=/p(~), on a p(A) = p(~).
(4) Soit F~ la classe des /~€H tels que p (h) €F et qu'il existe g E F pour lequel /g€F. On a F.p(F~')cF.
Cette définition modifie un peu celle de couple p-distingué régulier ('). Soit (Fy F) un couple p-admissible. Nous désignerons par D (F, p) la catégorie construite formellement comme dans (');la catégorie [Tj(H'; F, H)
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