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244 pages
Titre : Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées.... Tome III. 1. Fondements de la géométrie / éd. française réd. et publ. d'après l'éd. allemande sous la dir. de Jules Molk,...
Éditeur : J. Gabay (Sceaux)
Date d'édition : 1913-1915
Contributeur : Molk, Jules (1857-1914). Éditeur scientifique
Sujet : Géométrie -- Fondements
Sujet : Géométrie descriptive
Sujet : Géométrie algébrique
Notice d'ensemble : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb343351983
Notice du catalogue : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb354749161
Type : monographie imprimée monographie imprimée
Langue : français
Format : 4 vol. ; 18 x 25 cm 4 vol. ; 18 x 25 cm
Format : Nombre total de vues : 92 Nombre total de vues : 92
Description : Collection : Les grands classiques... Collection : Les grands classiques Gauthier-Villars
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Identifiant : ark:/12148/bpt6k29100t
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Conservation numérique : Bibliothèque nationale de France
Date de mise en ligne : 02/05/2014
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38 G. FANO. GROUPES CONTINUS ET GÉOMÉTRIE. E. CARTAN. H. LA GÉOMÉTRIE DE LAGUERRE. 39
les deux quadriques sont essentiellement distinctes et ne sont pas réduc-
tibles l'une à l'autre par une transformation réelle, à cause de la loi
d'inertie des formes quadratiques. Au contraire, si l'on admet les élé-
ments complexes, les deux quadriques sont réductibles l'une à l'autre,
de sorte que les deux géométries sont équivalentes. Cette équivalence
peut être mise en évidence, dans le cas de iz= 2, par une construction
géométrique simple (90) on prend dans l'espace E., un plan fixe E2 et
l'on fait correspondre à tout cycles de E2 de rayon r le point de E3
obtenu en portant à partir du centre du cycle sur un axe perpendiculaire
au plan E2 un vecteur égal à ix; inversement le cycle est l'intersection
du plan Ea et de la sphère de rayon nul ayant pour centre le point de E;
Par cette correspondance le groupe conforme de E3 devient le groupe
des cycles de E2. En particulier toute droite orientée de E2 correspond
à un plan isotrope (regardé comme sphère de rayon nul) de E3, et ce
plan isotrope contient la droite. Cette construction s'étend à un espace
En quelconque- La géométrie de Lie de En peut ainsi se déduire, par
deux constructions géométriques successives, de la géométrie projective
d'une quadrique M de En+2 (91),
Dans le cas particulier de l'espace complexes E3, il existe une troi-
sième géométrie, différente de la géométrie conforme de E, et équiva-
lente a la géométries des sphères orientées c'est la géométrie réglée
projective qui fait, elle aussi, intervenir une quadrique de E3. L'équi-
valence de la géométrie réglée et de la géométrie des sphères orientées
de E3 conduit à une correspondance remarquable (nécessairement
imaginaire) entre les droites et les sphères orientées de E3 à deux
droites qui se coupent correspondent deux sphères orientées tangentes.
Cette correspondance existe aussi entre les faisceaux de droites et les
faisceaux de sphères orientées tangentes, par suite enfin entre les élé-
ments de surface et les éléments de surface orientés; .à deux éléments
de surfaces unis correspondent deux éléments de surface orientés unis.'
De ce dernier point de vue, la correspondance constitue la célèbre trans-
formation de contact, découverte par S. Lie, qui transforme les lignes
asymptotiques d'une surface dans les lignes de courbure de la surface
(90) Cette construction remonte au fond à M. Chastes [ Géométrie supérieure (2e éd.)
Paris, 1880, p. 507], A. F. Môbius (Ber, Ges. Lpz math., t. 9, 1857, p. 38) et
E. N. Laguerre; W. Fiedler (Cyclographie, Leipzig, en partie, p. 138 et suiv.)
en a fait une étude approfondie.
(91 ) F. KLEIN, H6here Geometrie t. i, p. 477 et suiv. Cf. F. KLEIN, Math, Ann., 1872,
p. 257, en partie. p. 267.
transformée (92). Cette transformation de contact ne s'étend pas à un
espace En quelconque (92bis).
14. La géométrie de direction de Laguerre ("'). Considérons
dans le plan l'ensemble des transformations de Lie qui changent les
droites orientées en droites orientées. Dans la correspondance entre la
géométrie de Lie du plan et la géométrie conforme de l'espace E, ces
transformations correspondent aux transformations conformes de E;,
qui changent les plans isotropes en plans isotropes, c'est-à-dire aux
transformations du groupe fondamental de la géométrie élémentaire
de E, La distance de deux points de E3 est la distance tangentielle des
deux cycles correspondants du plan. La Géométrie de direction de
Lagucrre est celle qui a pour groupe fondamental l'ensemble des trans-
formations de Lie qui conservent la distance tangentielle de deux cycles
ce groupe correspond au groupe des déplacements et des retournements
de l'espace euclidien E3 (94). Il est mixte et formé de deux familles
continues à six paramètres.
(") C. R. Acad. Sc., t. 71, 1870 p. 570; Ber. Akad. Berlin, 1870, p. 8g' (en collabo-
ration avec F. Klein; reproduit rllatlz. Ann., t. 23,1884, p. 579; voir, en particulier n°7);
F'orhandlinger Videmskabs-Selskabet Christiania, r87o (éd. 1871 ou 1869 (éd. 1870).
aussi les articles indiqués ("), et Ceometrie der Beziehungstransformationer, t. 1,
chap. X, § 4.
(92 bis) Math. Ann., t. 5, 1872, p. ri5. Tout récemment, E. Bompiani [Rend. R.
Accad. l.incei; (5), t. 21, 1912, p. 697] a étudié la correspondance, déterminée par la
transformation de Lie, entre les faisceaux des droites tangentes à deux surfaces corres-
pondantes, en des points aussi correspondants. II en adonné une construction géomé-
trique, avec d'autres applications.
(") Sur la géométrie de direction (Bull. Soc. Math. Fr., t. 8. 1883, p. Œuvres,
t. II, Paris, 1905, p. 592; Sur la transformation par directions réciproques (C. R.
Acad. Sc., t. 92, 1881, p. 7T; Œuvres, t. II, p. 694); Transformations par semi-
droites réciproques [Nouv. Ann. Math., (3), t. t. 1882, p. 542; Œuvres t. II, p. 608];
Sur les hypercycles (C. R. Arad. Sc., t. 94, 1882, p. 778, 933, io33, Œuvres,
t. II, p. 620); Sur les anticaustiques par réflexion de la parabole, les rayons inci-
dents étant parallèles [Nouv. Ann. Math., (3), t. 2, 1883, p. 16; Œuvres, t. II,
p. 636]; Sur quelques propriétés des cycles [Nouv. Afin. Math., (3), t. 2, r883, p. 65;
Œuvres, t. II. p. 651]; Sur les courbes de directions de la troisième classe [Nouv.
Ann. Math., (3), t. 2, 1883, p. 97; Œuvres, t. II, p. 66o Sur les anticaustiques par
réflexion de la parabole, les rayons incidents étant perpendiculaires à l'axe (Nouv.
Ann. Math., t. 4, 1885, p. 5; Œuvres, t. II, p. 675). On trouvera un exposé d'ensemble
dans l'Ouvrage Recherches sur la géométrie de direction, Paris, 1885. La notion
de groupe n'intervient pas dans les recherches de E. N. Laguerre'.
(94) La relation qui vient d'être indiquée entre le groupe de Laguerre et le groupe
des déplacements euclidiens à déjà été signalée par S. Lie (Nachr. Ges. Gëtt., mai 1871,
p. 201; Math. Ann, t. 5, 1872, p. 186. R. Bricard [Nouv. Ann. Math., t. 6, 1906,
p. i5g, 4331 utilise une représentation qui ramène le groupe de Laguerre prolongé au
groupe projectif d'un cône de l'espace E" les droites orientées du plan étant représentées
les deux quadriques sont essentiellement distinctes et ne sont pas réduc-
tibles l'une à l'autre par une transformation réelle, à cause de la loi
d'inertie des formes quadratiques. Au contraire, si l'on admet les élé-
ments complexes, les deux quadriques sont réductibles l'une à l'autre,
de sorte que les deux géométries sont équivalentes. Cette équivalence
peut être mise en évidence, dans le cas de iz= 2, par une construction
géométrique simple (90) on prend dans l'espace E., un plan fixe E2 et
l'on fait correspondre à tout cycles de E2 de rayon r le point de E3
obtenu en portant à partir du centre du cycle sur un axe perpendiculaire
au plan E2 un vecteur égal à ix; inversement le cycle est l'intersection
du plan Ea et de la sphère de rayon nul ayant pour centre le point de E;
Par cette correspondance le groupe conforme de E3 devient le groupe
des cycles de E2. En particulier toute droite orientée de E2 correspond
à un plan isotrope (regardé comme sphère de rayon nul) de E3, et ce
plan isotrope contient la droite. Cette construction s'étend à un espace
En quelconque- La géométrie de Lie de En peut ainsi se déduire, par
deux constructions géométriques successives, de la géométrie projective
d'une quadrique M de En+2 (91),
Dans le cas particulier de l'espace complexes E3, il existe une troi-
sième géométrie, différente de la géométrie conforme de E, et équiva-
lente a la géométries des sphères orientées c'est la géométrie réglée
projective qui fait, elle aussi, intervenir une quadrique de E3. L'équi-
valence de la géométrie réglée et de la géométrie des sphères orientées
de E3 conduit à une correspondance remarquable (nécessairement
imaginaire) entre les droites et les sphères orientées de E3 à deux
droites qui se coupent correspondent deux sphères orientées tangentes.
Cette correspondance existe aussi entre les faisceaux de droites et les
faisceaux de sphères orientées tangentes, par suite enfin entre les élé-
ments de surface et les éléments de surface orientés; .à deux éléments
de surfaces unis correspondent deux éléments de surface orientés unis.'
De ce dernier point de vue, la correspondance constitue la célèbre trans-
formation de contact, découverte par S. Lie, qui transforme les lignes
asymptotiques d'une surface dans les lignes de courbure de la surface
(90) Cette construction remonte au fond à M. Chastes [ Géométrie supérieure (2e éd.)
Paris, 1880, p. 507], A. F. Môbius (Ber, Ges. Lpz math., t. 9, 1857, p. 38) et
E. N. Laguerre; W. Fiedler (Cyclographie, Leipzig, en partie, p. 138 et suiv.)
en a fait une étude approfondie.
(91 ) F. KLEIN, H6here Geometrie t. i, p. 477 et suiv. Cf. F. KLEIN, Math, Ann., 1872,
p. 257, en partie. p. 267.
transformée (92). Cette transformation de contact ne s'étend pas à un
espace En quelconque (92bis).
14. La géométrie de direction de Laguerre ("'). Considérons
dans le plan l'ensemble des transformations de Lie qui changent les
droites orientées en droites orientées. Dans la correspondance entre la
géométrie de Lie du plan et la géométrie conforme de l'espace E, ces
transformations correspondent aux transformations conformes de E;,
qui changent les plans isotropes en plans isotropes, c'est-à-dire aux
transformations du groupe fondamental de la géométrie élémentaire
de E, La distance de deux points de E3 est la distance tangentielle des
deux cycles correspondants du plan. La Géométrie de direction de
Lagucrre est celle qui a pour groupe fondamental l'ensemble des trans-
formations de Lie qui conservent la distance tangentielle de deux cycles
ce groupe correspond au groupe des déplacements et des retournements
de l'espace euclidien E3 (94). Il est mixte et formé de deux familles
continues à six paramètres.
(") C. R. Acad. Sc., t. 71, 1870 p. 570; Ber. Akad. Berlin, 1870, p. 8g' (en collabo-
ration avec F. Klein; reproduit rllatlz. Ann., t. 23,1884, p. 579; voir, en particulier n°7);
F'orhandlinger Videmskabs-Selskabet Christiania, r87o (éd. 1871 ou 1869 (éd. 1870).
aussi les articles indiqués ("), et Ceometrie der Beziehungstransformationer, t. 1,
chap. X, § 4.
(92 bis) Math. Ann., t. 5, 1872, p. ri5. Tout récemment, E. Bompiani [Rend. R.
Accad. l.incei; (5), t. 21, 1912, p. 697] a étudié la correspondance, déterminée par la
transformation de Lie, entre les faisceaux des droites tangentes à deux surfaces corres-
pondantes, en des points aussi correspondants. II en adonné une construction géomé-
trique, avec d'autres applications.
(") Sur la géométrie de direction (Bull. Soc. Math. Fr., t. 8. 1883, p. Œuvres,
t. II, Paris, 1905, p. 592; Sur la transformation par directions réciproques (C. R.
Acad. Sc., t. 92, 1881, p. 7T; Œuvres, t. II, p. 694); Transformations par semi-
droites réciproques [Nouv. Ann. Math., (3), t. t. 1882, p. 542; Œuvres t. II, p. 608];
Sur les hypercycles (C. R. Arad. Sc., t. 94, 1882, p. 778, 933, io33, Œuvres,
t. II, p. 620); Sur les anticaustiques par réflexion de la parabole, les rayons inci-
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Œuvres, t. II. p. 651]; Sur les courbes de directions de la troisième classe [Nouv.
Ann. Math., (3), t. 2, 1883, p. 97; Œuvres, t. II, p. 66o Sur les anticaustiques par
réflexion de la parabole, les rayons incidents étant perpendiculaires à l'axe (Nouv.
Ann. Math., t. 4, 1885, p. 5; Œuvres, t. II, p. 675). On trouvera un exposé d'ensemble
dans l'Ouvrage Recherches sur la géométrie de direction, Paris, 1885. La notion
de groupe n'intervient pas dans les recherches de E. N. Laguerre'.
(94) La relation qui vient d'être indiquée entre le groupe de Laguerre et le groupe
des déplacements euclidiens à déjà été signalée par S. Lie (Nachr. Ges. Gëtt., mai 1871,
p. 201; Math. Ann, t. 5, 1872, p. 186. R. Bricard [Nouv. Ann. Math., t. 6, 1906,
p. i5g, 4331 utilise une représentation qui ramène le groupe de Laguerre prolongé au
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