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345 pages
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- CHAPITRE XXVIII Intégrales de volumes, de surfaces et de lignes.
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Autre forme de la formule- .......... Page(s) .......... 8
- .......... Page(s) .......... 8
- II. - INTEGRALES DE SURFACES ET DE LIGNES. THEOREME D'AMPERE ET DE STOKES. TOURBILLON.
- 538.
Enoncé du théorème - .......... Page(s) .......... 10
- .......... Page(s) .......... 14
- 541.
Interprétation géométrique de la formule de Stokes - .......... Page(s) .......... 18
- 543.
Invariants - .......... Page(s) .......... 20
- 545.
Deuxième application - .......... Page(s) .......... 26
- .......... Page(s) .......... 26
- CHAPITRE XXIX. Attraction et potentiel.
- I. - ATTRACTION DEPONTS ISOLES.
- 548.
Attraction newtoniene - .......... Page(s) .......... 28
- 549.
Attraction de plusieurs points isolés sur un point. Potentiel - .......... Page(s) .......... 30
- 551.
Signification mécanique de la fonction U - 552.
Attractions électriques et attractions magnétiques - .......... Page(s) .......... 32
- .......... Page(s) .......... 34
- .......... Page(s) .......... 36
- .......... Page(s) .......... 36
- 555.
Expression du flux de force dans le cas où le champ provient de l'attraction d'un seul point - 1° Flux de force élémentaire
- Premier exemple de la conservation du flux dans un tube de force
- 2° Flux à travers une surface d'étendue finie
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- Deuxième cas : Point extérieur
- .......... Page(s) .......... 42
- .......... Page(s) .......... 42
- .......... Page(s) .......... 42
- 557.
Conservation du flux dans un tube de force - .......... Page(s) .......... 44
- 559.
Autre démonstration du théorème de Gauss
- .......... Page(s) .......... 48
- .......... Page(s) .......... 48
- 561.
Surface de niveau. Lignes et tubes de forces. Flux de force - 562.
Equation de Laplace - .......... Page(s) .......... 50
- 564.
Potentiel d'une ligne - 565.
Potentiel d'une simple couche - .......... Page(s) .......... 52
Discontinuité de l'attraction
Energie potentielle de la couche- 567.
Attraction d'une aire plane homogène - 568.
Attraction de deux aires planes homogènes, identiques, placées l'une en face de l'autre - .......... Page(s) .......... 58
- 570.
Aimant élémentaire - .......... Page(s) .......... 62
- .......... Page(s) .......... 64
- 573.
Actions mutuelles d'un courant et d'un aimant - 574.
Action d'un courant fermé sur un point magnétique. Potentiel
- .......... Page(s) .......... 70
- .......... Page(s) .......... 70
- 576.
Cas où le point P est dans la masse attirante - 577.
Les fonctions U, X, Y, Z restent finies et bien déterminées dans la masse attirante - .......... Page(s) .......... 72
- .......... Page(s) .......... 74
- .......... Page(s) .......... 74
2° Point intérieur- 580.
Flux de force. Théorème de Gauss - .......... Page(s) .......... 78
- 582.
Discontinuité des dérivées secondes de U - 583.
Equilibre électrique d'un corps conducteur - 584.
Calcul de l'attraction d'un corps sur un point très éloigné - .......... Page(s) .......... 84
- .......... Page(s) .......... 86
- 587.
Attraction d'un polyèdre homogène
- IV. - PROPRIETES GENERALES DES FONCTIONS VERIFIANT L'EQUATION DE LAPLACE.
- 588.
Objet de ce paragraphe - 589.
Signification de
U
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THEOREME. - Une fonction harmonique ne peut avoir, sur une surface, sur une ligne ou dans un volume, une valeur constante plus grande ou plus petite que toutes les valeurs voisines- .......... Page(s) .......... 94
Cas d'un volume indéfini
Conséquence- 591.
Une fonction harmonique uniforme finie et bien déterminée en tous les points à distance finie ou infinie est une constante - 592.
Détermination d'une fonction harmonique par ses valeurs sur une surface. Théorème d'existence - .......... Page(s) .......... 96
- 594.
Cas où est nul sur une surface fermée
- .......... Page(s) .......... 100
Cas d'un volume indéfini- .......... Page(s) .......... 104
- 597.
Deuxième application : Couche de niveau - .......... Page(s) .......... 106
- .......... Page(s) .......... 108
- 600.
Application - .......... Page(s) .......... 110
- 602.
Application au calcul du potentiel d'un ellipsoïde homogène - 603.
Ellipsoïde de révolution aplati
- V. - MASSES ATTIRANTES ILLIMITEES. POTENTIEL LOGARITHMIQUE.
- 604.
Attraction d'une droite homogène indéfinie sur un point - .......... Page(s) .......... 116
- .......... Page(s) .......... 118
- .......... Page(s) .......... 120
Exercices sur le Chapitre XXIX
- CHAPITRE XXX. Equilibre et mouvement intérieur d'une masse continue
- .......... Page(s) .......... 126
- .......... Page(s) .......... 128
- 610.
Equations d'équilibre - .......... Page(s) .......... 130
- 612.
Equations de l'équilibre et du mouvement intérieur - .......... Page(s) .......... 132
- 614.
Expressions des composantes de l'effort enfonction de, , .
- .......... Page(s) .......... 136
- 616.
Résumé - 617.
Quadrique directrice - .......... Page(s) .......... 142
- 618.
Ellipsoïde des efforts - .......... Page(s) .......... 144
- 620.
Autre quadrique pouvant jouer le rôle de directrice - 621.
Changement de coordonnées
Exercices sur le Chapitre XXX
- CHAPITRE XXXI. Hydrostatique.
- .......... Page(s) .......... 148
- .......... Page(s) .......... 148
Viscosité- .......... Page(s) .......... 150
- 624.
Equations d'équilibre d'un fluide
Equation unique d'équilibre. Interprétation géométrique- .......... Page(s) .......... 152
- 626.
Lois de forces capables de tenir un fluide en équilibre - .......... Page(s) .......... 154
- .......... Page(s) .......... 154
- 629.
Application aux fluides pesants - 630.
Formule barométrique - .......... Page(s) .......... 160
- 632.
Application. Equilibre relatif d'un liquide pesant animé d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe vertical fixe - 633.
Fluides superposés - .......... Page(s) .......... 164
- .......... Page(s) .......... 164
- .......... Page(s) .......... 166
- II. - EQUILIBE ISOTHERME.
- 636.
Equilibre isothèrme - 637
Dans l'équilibre isotherme, les forces dérivent nécessairement d'une fonction de forces uniforme - .......... Page(s) .......... 168
Gaz parfait à température constante
Transmission des pressions dans un fluide en équilibre isotherme- .......... Page(s) .......... 170
- .......... Page(s) .......... 172
- .......... Page(s) .......... 174
- .......... Page(s) .......... 178
- .......... Page(s) .......... 180
- .......... Page(s) .......... 180
- .......... Page(s) .......... 182
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Pressions du gaz sur une surface fermée
Pressions sur une paroi plane
Pressions sur une paroi courbe
Projections- .......... Page(s) .......... 184
- 644.
Liquide pesant en équilibre isotherme. Plan de charge. Pressions sur une paroi plane - .......... Page(s) .......... 190
- .......... Page(s) .......... 190
Somme des projections des pressions sur un axe horizontal- .......... Page(s) .......... 192
- .......... Page(s) .......... 192
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- .......... Page(s) .......... 194
- .......... Page(s) .......... 194
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- 630.
Définitions. Flotteurs
Axes d'orientation
Flottaison- .......... Page(s) .......... 198
- .......... Page(s) .......... 198
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- .......... Page(s) .......... 198
- 652.
Deuxième théorème : Le plan tangent en un point C de la surface des centres de carène est parallèle au plan de flottaison correspondant - .......... Page(s) .......... 202
- .......... Page(s) .......... 202
- 655.
Quatrième théorème : Soit I le moment d'inertie de la flottaison par rapport à un axe d'inclinaison OX, le métacentre correspondant µ est à une distance de C,
- .......... Page(s) .......... 208
- 657.
Premier aperçu sur la stabilité - .......... Page(s) .......... 210
- .......... Page(s) .......... 210
- .......... Page(s) .......... 214
Représentation des diverses positions d'équilibre- .......... Page(s) .......... 216
Mesure de la stabilité d'une position d'équilibre- .......... Page(s) .......... 218
- .......... Page(s) .......... 224
- 661.
Exemples
1° Flotteur sphérique
2° Ellipsoïde
3° Flotteur avec un plan de symétrie- .......... Page(s) .......... 226
- .......... Page(s) .......... 228
- CHAPITRE XXXII. Déformation d'un milieu continu; propriétés géométriques.
- .......... Page(s) .......... 234
- .......... Page(s) .......... 234
- .......... Page(s) .......... 236
- 664.
Equation de continuité - .......... Page(s) .......... 240
- 666.
Déformation, déplacement - 667.
Les six fonctions associées à une déformation
Premier théorème- .......... Page(s) .......... 244
Second théorème- 668.
Dilatations linéaires autour d'un point du milieu primitif; ellipsoïde des dilatations en ce point - .......... Page(s) .......... 248
- .......... Page(s) .......... 248
- .......... Page(s) .......... 250
- 670.
Dilatations principales - 671.
Invariants - .......... Page(s) .......... 252
- 673.
Equations aux dérivées partielles pour les et les
- II. DEFORMATION HOMOGENE.
- 674.
Définition d'une déformation homogène - 675.
Formules - .......... Page(s) .......... 256
- .......... Page(s) .......... 258
- 678.
Détermination des axes et des coefficients d'une déformation pure
Conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une déformation homogène soit une déformation pure- .......... Page(s) .......... 262
Remarque
Remarque II
- III. - RETOUR A UNE DEFORMATION QUELCONQUE ; DEFORMATION HOMOGENE TANGENTE EN UN POINT.
- 680.
Déformation quelconque; déformation homogène tangente en un point - .......... Page(s) .......... 264
- .......... Page(s) .......... 266
- .......... Page(s) .......... 266
- .......... Page(s) .......... 266
- 684.
Expressions des six fonctions caractéristiques
Dilatations linéaires en un point parallèlement aux axes de coordonnées
Dilatations angulaires, en un point, des angles ayant leurs côtés parallèles aux axes. Glissements- 685.
Rotation en chaque point. Dilatations principales - 686.
Cas où la rotation est nulle en chaque point : déformation longitudinale - .......... Page(s) .......... 272
- .......... Page(s) .......... 272
- 689.
Déformations à la fois longitudinales et transversales - .......... Page(s) .......... 274
- CHAPITRE XXXIII. Cinématique des milieux continus.
- .......... Page(s) .......... 278
- I. - VARIABLES DE LAGRANGE.
- 691.
Définition - .......... Page(s) .......... 280
- 693.
Accélération d'un élément - 694.
Equation de continuité
- II. - VARIABLES D'EULER.
- 695.
Définition - .......... Page(s) .......... 282
- 697.
Autre méthode; dérivée par rapport au temps prise en suivant un élément dans son mouvement - .......... Page(s) .......... 284
- 699.
Equation de continuité - .......... Page(s) .......... 286
Application- 701
Comparaison des deux équations de continuité - 702
Passage d'un des systèmes de variables à l'autre - .......... Page(s) .......... 290
- 703.
Lignes de courant ou de flux à un instant - .......... Page(s) .......... 292
- 705.
Rotation moyenne ou tourbillon en un point à un instant - .......... Page(s) .......... 296
- .......... Page(s) .......... 298
- 708.
Potentiel des vitesses; mouvement irrotationnel ou non tourbillonnaires - 709.
Flux à travers une surface dans le cas d'un potentiel de vitesses - .......... Page(s) .......... 302
- .......... Page(s) .......... 302
- .......... Page(s) .......... 302
- III. - SUR LA PROPAGATION DES ONDES ; DISCONTINUITES DANS LE MOUVEMENT DES FLUIDES.
- 712.
Indications bibliographiques - 713.
Discontinuités des divers ordres - .......... Page(s) .......... 306
- .......... Page(s) .......... 308
- 716.
Conditions de compatibilité - 717.
Discontinuité du premier ordre - 718.
Discontinuité du deuxième ordre - .......... Page(s) .......... 320
- .......... Page(s) .......... 322
Exercices sur le Chapitre XXXIII
- CHAPITRE XXXIV. Dynamique des fluides parfaits; théorèmes généraux.
- 721.
Objet du Chapitre - I. FLUIDES PARFAITS ; EQUATIONS.
- 722.
Définition ; pression en un point - .......... Page(s) .......... 328
- 724
Equation caractéristique - .......... Page(s) .......... 330
- .......... Page(s) .......... 330
- .......... Page(s) .......... 330
- .......... Page(s) .......... 332
- .......... Page(s) .......... 334
- 729.
Cas où, la densité étant fonction de la pression, il existe en même temps une fonction de forces - .......... Page(s) .......... 336
- .......... Page(s) .......... 342
- 732.
Propagation d'une discontinuité du second ordre dans un gaz. Vitesse du son. Théorème de Hugoniot - .......... Page(s) .......... 348
Equation de continuité analogue à celle de Lagrange
- III. - VARIABLES D'EULER.
- 734.
Equations du mouvement - 735.
Exercice. Mouvement d'un liquide pesant s'écoulant par le fond d'un vase de révolution d'axe vertical : hypothèse du mouvement par tranches parallèles - 736.
Autre forme des équations du mouvement - .......... Page(s) .......... 356
Equations de Helmholtz- .......... Page(s) .......... 358
- 738.
Cas où,étant fonction de p, les forces et les vitesses dérivent d'un potentiel
Liquide incompressible- .......... Page(s) .......... 362
- 740.
Equations analogues à celles d'Euler dans un système quelconque de coordonnées
- .......... Page(s) .......... 368
- .......... Page(s) .......... 368
- 742.
Mouvement permanent dans le cas où les forces dérivent d'une fonction de forces et où est fonction de p
Théorème de Bernoulli- .......... Page(s) .......... 372
- 744.
Théorème de Torricelli - .......... Page(s) .......... 376
- .......... Page(s) .......... 378
Formule de Navier- 746.
Variation de la section droite d'un filet gazeux : maximum de contraction, vitesse correspondante
- .......... Page(s) .......... 380
- .......... Page(s) .......... 380
- .......... Page(s) .......... 382
- 749.
Sources ; doublets
1° Une source
2° Plusieurs sources
3° Doublets- 750.
Quelques problèmes sur les sources - 751.
Principe des images
Premier exemple : Image d'une source par rapport à un plan
Deuxième exemple : Ecoulement permanent irrotationnel d'un liquide par le fond d'un vase indéfini limité par deux plans parallèles- .......... Page(s) .......... 390
- CHAPITRE XXXV. Théorie des tourbillons.
- .......... Page(s) .......... 394
- I. - PROPRIETES GENERALES.
- 753.
Hypothèses - 754.
Lignes et surfaces fluides - .......... Page(s) .......... 396
Autre démonstration- .......... Page(s) .......... 398
Cas d'une surface fermée- 757.
Lignes et surfaces de tourbillon ; intersection de deux surfaces de tourbillon - 758.
Théorème de Helmholtz - 759.
Tubes de tourbillon : moment ou intensité d'un tube - .......... Page(s) .......... 404
Rapprochement avec les équations de Helmholtz- .......... Page(s) .......... 406
- .......... Page(s) .......... 408
- 763.
Cas où les lignes de flux se confondent avec les lignes de tourbillon
- II. - PARTIE DU FLUIDE ANIMEE D'UN MOUVEMENT IRROTATIONNEL. CONNEXION.
- 764.
Circulation dans la partie irrotationnelle - .......... Page(s) .......... 416
2° Volume doublement connexe
3° Volume triplement connexe- .......... Page(s) .......... 420
- .......... Page(s) .......... 420
- III. - DETERMINATION DES VITESSES EN FONCTION DES TOURBILLONS DANS UN LIQUIDE INDEFINI ; MOUVEMENT DES TOURBILLONS.
- 766.
Enoncé du problème général - 767.
Cas d'un liquide - 768.
Cas d'un liquide indéfini - .......... Page(s) .......... 432
- .......... Page(s) .......... 432
- .......... Page(s) .......... 434
- 771.
Potentiel des vitesses dans la partie irrotationnelle d'un liquide indéfini avec un nombre quelconque d'anneaux de tourbillon - .......... Page(s) .......... 436
- 773.
Expression de la force vive du liquide - 774.
Application : anneaux de tourbillon circulaires de même axe
Vitesse
Tourbillon- .......... Page(s) .......... 440
- IV. - DETERMINATION DES VITESSES EN FONCTION DES TOURBILLONS DANS LE CAS GENERAL.
- 775.
Liquide contenu dans un vase - .......... Page(s) .......... 456
Fluide compressible indéfini
Analogie électromagnétique
Espace limité- .......... Page(s) .......... 460
- .......... Page(s) .......... 460
- .......... Page(s) .......... 460
- 779.
Notations de Clebsch
- VI. - RECHERCHES DE TRANSON.
- 780
Problème de Géométrie de Transon - .......... Page(s) .......... 468
- CHAPITRE XXXVI. Mouvements parallèles à un plan fixe.
- 781.
Objet du Chapitre - .......... Page(s) .......... 472
- 782.
Conditions aux parois - .......... Page(s) .......... 474
- .......... Page(s) .......... 474
Fonction de courant
Introduction des fonctions d'une variable complexe- .......... Page(s) .......... 476
- .......... Page(s) .......... 476
Onde progressive simple- .......... Page(s) .......... 478
- .......... Page(s) .......... 478
- 786.
Dynamique du mouvement irrotationnel par ondes parallèles à la surface d'un liquide pesant - .......... Page(s) .......... 480
- .......... Page(s) .......... 480
3° Conditions initiales- .......... Page(s) .......... 482
- .......... Page(s) .......... 482
- .......... Page(s) .......... 484
Oscillations des molécules- .......... Page(s) .......... 486
- 789.
Onde solitaire. Indications - .......... Page(s) .......... 488
- .......... Page(s) .......... 488
- .......... Page(s) .......... 488
- .......... Page(s) .......... 490
- .......... Page(s) .......... 490
Un seul tube de tourbillon infiniment délié
Plusieurs tubes infiniment déliés
Mouvement des tubes de tourbillon infiniment déliés
Réduction des équations du mouvement des tubes à la forme canonique- .......... Page(s) .......... 498
- .......... Page(s) .......... 502
- 793.
Tubes de dimensions finies
Tube cylindrique homogène dans un liquide indéfini- 794.
Cas d'un liquide limité par des cloisons perpendiculaires au plan des xy - .......... Page(s) .......... 508
- III. - MOUVEMENT PLAN IRROTATIONNEL D'UN LIQUIDE EN CONTACT AVEC UN OBSTACLE FIXE. RECHERCHES DE M. H. VILLAT.
- 796.
Objet du paragraphe - 797.
Emploi des fonctions d'une variable complexe; rappel de quelques propositions concernant la représentation conforme
Exemples simples- 798.
Mouvement plan discontinu d'un liquide
Exemple- .......... Page(s) .......... 536
- .......... Page(s) .......... 542
Bibliographie- .......... Page(s) .......... 560
- CHAPITRE XXXVII. Fluides baroclines.
- .......... Page(s) .......... 562
- .......... Page(s) .......... 562
- .......... Page(s) .......... 562
- 801.
Propriétés géométriques du champ barocline - .......... Page(s) .......... 566
- 803.
Origine de la circulation - .......... Page(s) .......... 568
- 805.
Exemples de formation de circulations ou tourbillons - 806.
Applications aux mouvements atmosphériques - 807.
Circulation relative - 808.
Origine de la circulation et des tourbillons de moment spécifique - 809.
Phénomènes analogues à ceux des phénomènes électriques et magnétiques - .......... Page(s) .......... 584
- 811.
Vérification expérimentale - .......... Page(s) .......... 588
- 813.
Notice historique et bibliographique
- .......... Page(s) .......... 596
- .......... Page(s) .......... 596
- .......... Page(s) .......... 602
Cas particuliers- .......... Page(s) .......... 604
- 817.
Quelques renseignements bibliographiques
- CHAPITRE XXXVIII. Notions sur la théorie de l'élasticité.
- .......... Page(s) .......... 606
- .......... Page(s) .......... 608
- .......... Page(s) .......... 608
- .......... Page(s) .......... 610
- 821.
Cas d'un système homogène et isotrope
Résumé des liaisons géométriques entre deux quadriques- 822.
Constantes caractéristiques d'un milieu élastique homogène et isotrope - .......... Page(s) .......... 618
Conditions initiales
Conditions aux limites
- .......... Page(s) .......... 620
- .......... Page(s) .......... 620
- .......... Page(s) .......... 620
- .......... Page(s) .......... 622
- 826.
Théorème de réciprocité de Betti - .......... Page(s) .......... 624
- .......... Page(s) .......... 626
- .......... Page(s) .......... 626
- 829.
Exemple I : Compression normale et uniforme d'un milieu isotrope - 830.
Exemple II : Extension longitudinale d'un cylindre droit à base quelconque par des tractions uniformes exercées sur les bases - .......... Page(s) .......... 632
- .......... Page(s) .......... 636
- 833.
Le problème de Barré de Saint-Venant. Théorie des corps minces - .......... Page(s) .......... 648
- .......... Page(s) .......... 648
- .......... Page(s) .......... 648
- CHAPITRE XXXIX. Equations du mouvement d'un fluide visqueux.
- .......... Page(s) .......... 656
- 837.
Détermination des efforts en fonction des dérivées des composantes de la vitesse - 838.
Equations du mouvement
Cas d'un liquide visqueux
Cas d'un gaz
Table des Matières