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328 A. Pringsheim. 1 4. Déterminants infinis. J. Molk.
dont les déterminants normaux et normadoïdes ne sont que le cas
particulier où n = 1. Le théorème de la multiplication (102) subsiste
pour deux déterminants de genre fini quelconque, avec cette différence
que sous certaines hypothèses les c M ne peuvent prendre que les
deux formes (I) ou (II) tandis que sous d'autres hypothèses ils ne
peuvent prendre que les deux formes (III) ou (IV).
H. von Kocja appelle déterminants de genre infinie tous les déter-
minants infinis qui ne sont pas de genre fini. Parmi les déterminants
de genre infini il a, en particulier, envisagé une classe déterminée à
laquelle il a donné le nom de classe de déterminants hypernormaux353).
Les déterminants hypernormaux jouissent de la plupart des propriétés
des déterminants normaux. Le théorème de multiplication (102)
subsiste pour deux déterminants hypernormaux quelconques avec cette
seule restriction que les cµ(ν) ne peuvent prendre que les formes (III)
ou (IV).
L'étude des déterminants d'ordre infini a été étendue par T. Caz-
zaniga354) aux déterminants cubiques infinies dont les éléments aλµν
ont trois indices pouvant chacun prendre une infinité de valeurs.
T. Cazzaniga a en particulier montré quelles sont, parmi les pro-
priétés des déterminants infinis quadratiques envisagés jusqu'ici, celles
qui se conservent, celles qui se transforment et celles qui cessent
d'avoir lieu pour les déterminants cubiques infinis.
353) Acta math. 24 (1901), p. 108. Ces déterminants hypernormaux jouent
un rôle important dans l'étude de certains systèmes d'ordre infini d'équations
différentielles linéaires.
354) Math. Ann. 53 (1900) p. 272 et suiv. Voir aussi A. Calegari, Periodico
mat. (3) 2 (1904/5), p. 107/18.
Une première rédaction française de cet article I 4 due à H. Padé
(Bordeaux), quoique conçue dans un esprit différent de celui de l'exposé actuel,
a cependant été largement utilisée pour la rédaction définitive de l'article.
I5. NOMBRES COMPLEXES.
EXPOSÉ, D'APRÈS L'ARTICLE ALLEMAND DE E. STUDY (BONN),
PAR E. CARTAN (NANCY).
Nombres complexes ordinaires.
1. Aperçu historique 1). La notion primitive de nombre est
celle du nombre naturel. Mais, déjà en arithmétique élémentaire,
la nécessité de généraliser certaines opérations a conduit à plusieurs
extensions de cette notion simple; c'est ainsi qu'on a adjoint (I 1, 17)
aux nombres naturels les nombres négatifs, aux nombres entiers les
nombres fractionnaires (I1, 21), aux nombres rationnels les nombres
irrationnels (13, 1 à 9). C'est ce même besoin d'extension de la
notion de nombre qui a conduit à l'adjonction aux nombres réels
des nombres dits "imaginaires".
*L'histoire des nombres imaginaires commence à partir du
moment où, s'étant aperçu qu'un nombre négatif n'admet pas de racine
carrée2), on s'est vu conduit néanmoins à introduire dans le calcul
1) Sur l'histoire de la théorie des nombres imaginaires, voir H. Hankel,Theorie
der complexen Zahlensysteine, Leipzig 1867, p. 71/3; E. Kossak, Elemente der
Arithmetik [Progr. Friedr.-Werder'schen Gymn. Berlin 1872] (cf. I3, 7 note 58);
R. Baltzer, J. reine angew. Math. 94 (1883), p. 87; L. Janssen van Raay, Archives
Teyler (2) 4 (1896), p. 53 [1892]; A. Ramorino, Giorn. mat. (2) 4 (1897), p. 261;
,et la courte communication de C. J. Kiessling, Mitt. math. Ges. Hamburg 1 (1881/9),
p. 24/6 [1882]..
2) ,Dans un traité de stéréométrie attribué ordinairement à Héron d'Alexan-
drie [Heronis Alexandrini geometricorum et stereometricorum reliquiae 1, éd.
F. Hultsch, Berlin 1864, p. 163] mais qui n'a vraisemblablement été rédigé que
par un mathématicien byzantin d'après le traité original de Héron, on rencontre
un exemple dans lequel apparaît la racine carrée d'un nombre négatif
√81 144;
cette racine est posée égale à √63, mais c'est peut-être par suite d'une simple
erreur de calcul.
Dans le "Vîjaganita" le mathématicien hindou Bhâskara, qui vivait au
12ième siècle de notre ère, fait observer [voir H. T. Colebrooke, Algebra with
dont les déterminants normaux et normadoïdes ne sont que le cas
particulier où n = 1. Le théorème de la multiplication (102) subsiste
pour deux déterminants de genre fini quelconque, avec cette différence
que sous certaines hypothèses les c M ne peuvent prendre que les
deux formes (I) ou (II) tandis que sous d'autres hypothèses ils ne
peuvent prendre que les deux formes (III) ou (IV).
H. von Kocja appelle déterminants de genre infinie tous les déter-
minants infinis qui ne sont pas de genre fini. Parmi les déterminants
de genre infini il a, en particulier, envisagé une classe déterminée à
laquelle il a donné le nom de classe de déterminants hypernormaux353).
Les déterminants hypernormaux jouissent de la plupart des propriétés
des déterminants normaux. Le théorème de multiplication (102)
subsiste pour deux déterminants hypernormaux quelconques avec cette
seule restriction que les cµ(ν) ne peuvent prendre que les formes (III)
ou (IV).
L'étude des déterminants d'ordre infini a été étendue par T. Caz-
zaniga354) aux déterminants cubiques infinies dont les éléments aλµν
ont trois indices pouvant chacun prendre une infinité de valeurs.
T. Cazzaniga a en particulier montré quelles sont, parmi les pro-
priétés des déterminants infinis quadratiques envisagés jusqu'ici, celles
qui se conservent, celles qui se transforment et celles qui cessent
d'avoir lieu pour les déterminants cubiques infinis.
353) Acta math. 24 (1901), p. 108. Ces déterminants hypernormaux jouent
un rôle important dans l'étude de certains systèmes d'ordre infini d'équations
différentielles linéaires.
354) Math. Ann. 53 (1900) p. 272 et suiv. Voir aussi A. Calegari, Periodico
mat. (3) 2 (1904/5), p. 107/18.
Une première rédaction française de cet article I 4 due à H. Padé
(Bordeaux), quoique conçue dans un esprit différent de celui de l'exposé actuel,
a cependant été largement utilisée pour la rédaction définitive de l'article.
I5. NOMBRES COMPLEXES.
EXPOSÉ, D'APRÈS L'ARTICLE ALLEMAND DE E. STUDY (BONN),
PAR E. CARTAN (NANCY).
Nombres complexes ordinaires.
1. Aperçu historique 1). La notion primitive de nombre est
celle du nombre naturel. Mais, déjà en arithmétique élémentaire,
la nécessité de généraliser certaines opérations a conduit à plusieurs
extensions de cette notion simple; c'est ainsi qu'on a adjoint (I 1, 17)
aux nombres naturels les nombres négatifs, aux nombres entiers les
nombres fractionnaires (I1, 21), aux nombres rationnels les nombres
irrationnels (13, 1 à 9). C'est ce même besoin d'extension de la
notion de nombre qui a conduit à l'adjonction aux nombres réels
des nombres dits "imaginaires".
*L'histoire des nombres imaginaires commence à partir du
moment où, s'étant aperçu qu'un nombre négatif n'admet pas de racine
carrée2), on s'est vu conduit néanmoins à introduire dans le calcul
1) Sur l'histoire de la théorie des nombres imaginaires, voir H. Hankel,Theorie
der complexen Zahlensysteine, Leipzig 1867, p. 71/3; E. Kossak, Elemente der
Arithmetik [Progr. Friedr.-Werder'schen Gymn. Berlin 1872] (cf. I3, 7 note 58);
R. Baltzer, J. reine angew. Math. 94 (1883), p. 87; L. Janssen van Raay, Archives
Teyler (2) 4 (1896), p. 53 [1892]; A. Ramorino, Giorn. mat. (2) 4 (1897), p. 261;
,et la courte communication de C. J. Kiessling, Mitt. math. Ges. Hamburg 1 (1881/9),
p. 24/6 [1882]..
2) ,Dans un traité de stéréométrie attribué ordinairement à Héron d'Alexan-
drie [Heronis Alexandrini geometricorum et stereometricorum reliquiae 1, éd.
F. Hultsch, Berlin 1864, p. 163] mais qui n'a vraisemblablement été rédigé que
par un mathématicien byzantin d'après le traité original de Héron, on rencontre
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√81 144;
cette racine est posée égale à √63, mais c'est peut-être par suite d'une simple
erreur de calcul.
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