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Title : Encyclopédie mathématique, ou Exposition complète de toutes les branches des mathématiques, d'après les principes de la philosophie des mathématiques de Hoëné Wronski. Partie 1 / Tome 4 / par A. S. de Montferrier,...
Author : Sarrazin de Montferrier, Alexandre (1792-1863)
Publisher : Amyot (Paris)
Date of publication : 1856-1859
Subject : Mathématiques -- Encyclopédies
Subject : Mathématiques -- Philosophie
Type : monographie imprimée
Language : French
Format : 4 vol. ; in-8
Format : application/pdf
Copyright : domaine public
Identifier : ark:/12148/bpt6k994661
Source : Ecole Polytechnique, A1B 264 (4)
Relation : Notice d'ensemble : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb30971127x
Relation : http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb30971127x
Provenance : bnf.fr
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Table of contents
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INTRODUCTION 3 Définitions préliminaires 5 I. GÉNÉRATION. - Définitions 7 § I. LES ANGLES 12 Les angles de suite. - Les angles opposés par le sommet 13 Théorie des droites parallèles 14 Les angles dont les côtés sont parallèles, sont égaux ou supplément l'un de l'autre 15 La somme des trois angles d'un triangle quelconque est équivalente à deux angles droits 17 Les angles des polygones; leur somme est égale à autant de fois deux angles droits qu'ils ont de côtés, moins deux 18 Les angles considérés dans le cercle 19 Division du cercle en degrés pour mesurer les angles 22 Mesure des angles dont les sommets ne sont point au centre d'un cercle 24 § II. LES LIGNES. Un côté quelconque d'un triangle est toujours plus petit que la somme des deux autres 27 Relations entre les angles et les côtés d'un triangle. Le plus grand côté est toujours opposé au plus grand angle 28 Les perpendiculaires et les obliques 29 Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux 31 Propriétés des cordes du cercle 33 Trois points donnés qui ne sont pas en ligne droite se trouvent toujours sur la circonférence d'un cercle 35 Des polygones inscrits et circonscrits au cercle 36 Les constructions graphiques. Élévation des perpendiculaires. Division des droites et des arcs de cercle en parties égales. Construction des angles. Inscriptions et circonscriptions des polygones réguliers au cercle 39 II. COMPARAISON. Objet général de cette comparaison 48 § I. COÏNCIDENCE. Condition de l'égalité de deux triangles 49 Conséquences immédiates de cette égalité 52 § II. ÉQUIVALENCE. Conditions de l'équivalence des figures planes 53 Rapport des figures planes 55 La mesure des surfaces. Le carré est l'unité des mesures de superficie 57 L'aire du cercle 60 Théorème de carré de l'hypothènuse et ses conséquences 61 § III. SIMILITUDE. Des triangles semblables 71 Des polygones semblables 77 Les constructions graphiques. Construction des triangles; des parallélogrammes, des figures équivalentes; des figures dans un rapport donné 81 La mesure du cercle. Détermination du rapport approché de la circonférence au diamètre à l'aide des polygones réguliers inscrits et circonscrits 90 Constructions géométriques approximatives des problèmes relatifs à la quadrature du cercle 100 Des maxima et des minima des figures géométriques 104 I. GÉNÉRATION. De l'étendue à trois dimensions. - Définitions 110 I. LES PLANS. Des angles des plans entre eux, et de leurs angles avec des droites 115 Relations diverses des plans dans l'espace 118 § II. LES ANGLES SOLIDES. Les angles solides exigent pour leur mesure la surface entière d'une sphère 120 Théorie des cercles de la sphère 123 Des triangles sphériques. - La somme de leurs angles. La mesure de leur surface 125 § III. LES SOLIDES. Propriétés générales résultant de la construction des solides 131 Il n'existe que cinq solides réguliers 133 Les constructions graphiques. Constructions des parties inconnues d'un angle solide dont on connaît quelques parties 134 II. COMPARAISON. Objet de cette comparaison 138 § I. ÉGALITÉ. Cas particuliers de l'égalité des prismes entre eux et des pyramides entre elles. - Conséquences 138 Des polyèdres symétriques 140 § II. ÉQUIVALENCE. Équivalence des pyramides de même base et de même hauteur. Conséquences qui en résultent pour l'équivalence des solides 141 Rapport des parallélépipèdes rectangles entre eux 143 Mesure du volume des solides. Le cube est l'unité des mesures de solidité 145 Volumes des pyramides et des prismes entiers ou tronqués 147 Volumes des cylindres et des cônes 150 Mesure des surfaces convexes du cylindre et du cône droits 153 Des solides de révolution 155 Mesure du volume de la sphère 161 Rapports entre les volumes de la sphère et celui du cylindre qui lui est circonscrit 162 Rapports entre le volume de la sphère et les volumes du cône et du cylindre circonscrits 163 § III. SIMILITUDE. Cas divers de la similitude des pyramides triangulaires 166 Les polyèdres semblables 168 Les cylindres semblables et les cônes semblables 168 Le rapport des volumes de deux sphères est le même que celui des cubes de leurs rayons ou de leurs diamètres 170 TABLEAU DE LA THÉORIE DE LA SCIENCE DE L'ÉTENDUE 170 Objet de la Technie géométrique, dont les sciences suivantes font partie 171 Objet spécial de cette branche de la technie 172 Des lignes trigonométriques 173 Identité des sinus du cercle, avec les fonctions sinus de l'algèbre 188 § I. TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE. Propositions fondamentales 195 Exemples numériques d'applications 197 Résolution des triangles rectangles 200 Exemple numérique 202 Résolution des triangles obliquangles. 203 Mesure de l'aire des triangles à l'aide des lignes trigonométriques 209 Exemple du calcul d'un triangle 210 Solutions de quelques questions pratiques 215 § II. TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE. Notions élémentaires 217 Proposition fondamentale 222 Résolution des triangles sphériques rectangles. 222 Cette résolution est fondée sur six théorèmes 222 Résolution des triangles sphériques obliquangles. Des triangles polaires, et de leur usage pour la résolution des triangles 227 Des cas douteux 237 Exemple numérique sur la détermination de la distance de deux points du globe terrestre dont on connaît les latitudes et les longitudes 238 Objet général de cette branche de la Technie géométrique, désignée communément sous la dénomination inexacte de géométrie analytique 241 PARTIE ÉLÉMENTAIRE. Constructions graphiques des expressions algébriques 245 Application de ces constructions à la solution des plusieurs problèmes 249 PARTIE SYSTÉMATIQUE. Construction universelle de l'étendue au moyen de la seule ligne droite 260 I. DÉTERMINATIONS ALGORITHMIQUES DES POINTS SUR UN PLAN. Détermination d'un point de l'espace sur un plan donné de position 261 Équation générale de la ligne droite 263 Formes différentes que reçoit l'équation de la ligne droite lorsqu'elle est assujettie à diverses conditions 265 Solution des questions relatives aux lignes droites 266 Expression de la surface d'un triangle 274 Rayon du cercle circonscrit à un triangle 275 Rayon du cercle inscrit dans un triangle 277 Définition des ordonnées obliques 279 Du cercle. Équation la plus générale du cercle 280 Équations dites au diamètre et au centre 281 Combinaison des équations de la droite et du cercle. Déduction des propriétés les plus remarquables du cercle 282 Transformation des coordonnées. Formules générales 287 Formules des cas particuliers 288 Des coordonnées polaires. Transformation des coordonnées rectilignes rectangulaires ou obliques en coordonnées polaires 290 Problèmes fondamentaux de cette première partie de la géométrie algorithmique 293 § I. CONSTRUCTION DE L'ÉQUATION D'UNE COURBE DONNÉE. Des sections coniques. - Leur génération primitive 294 L'ellipse. Ses équations et ses propriétés 295 La parabole. Ses équations et ses propriétés 310 L'hyperbole. Ses équations et ses propriétés 319 Déduction de l'équation d'une courbe au moyen d'une de ses propriétés générales connues 338 La conchoïde de Nicomède 343 La cissoïde de Dioclès 344 Des courbes transcendantes. Le cycloïde 345 Le quadratrice de Dinostrale 347 La spirale d'Archimède 349 § II. CONSTRUCTION DES COURBES DONT L'ÉQUATION EST DONNÉE. Procédés graphiques de cette construction 350 Construction de l'équation générale du second degré à deux variables 357 Une équation du second degré à deux variables ne peut représenter qu'une section conique 359 Relations entre les coefficients qui font connaître celle des sections coniques qu'une équation donnée représente 363 Discussion des cas particuliers 368 De la similitude des courbes du second degré 373 DES COURBES EN GÉNÉRAL 375 Les tangentes des courbes 377 Des normales, des sous-normales, des sous-tangentes et des rapports de ces lignes avec les tangentes 378 Les asymptotes des courbes. - Moyen de les reconnaître 383 Les points singuliers des courbes 384 Points d'inflexion et de rebroussement 388 Points multiples 391 Des développées 393 Expressions générales du rayon de courbure et des ordonnées du Cercle osculateur, relatifs à un point d'une courbe 396 Application à la parabole et à la cycloïde 398 La rectification des courbes 400 Expression générale de la longueur linéaire d'un arc de courbe 401 Application à la rectification des courbes. - La cycloïde est exactement rectifiable 402 La quadrature des courbes. Formule générale des quadratures 403 Quadrature de la parabole 404 Rapport de l'aire de l'ellipse à celle du cercle construit sur son grand axe 406 Aires asymptotiques de l'hyperbole. Génération géométrique des logarithmes naturels 408 Quadrature des surfaces de révolution 409 Cubature des solides de révolution 410 Volumes des ellipsoïdes allongés et aplatis 412 Méthode inverse des tangentes. Construction des courbes au moyen d'une propriété connue de leurs tangentes, normales, sous-normales, ou sous-tangentes 413 Construction graphique des équations déterminées. Problème de la duplication du cube 416 Construction des racines des équations du troisième et du quatrième degré au moyen d'un cercle et d'une parabole Construction des racines des équations d'un degré quelconque au moyen d'une ligne droite et d'une courbe de même degré que l'équation proposée 419 II. DÉTERMINATIONS ALGORITHMIQUES DES POINTS DANS L'ESPACE. Manière de représenter par des équations la position des points dans l'espace 422 Expression générale de la distance de deux points, au moyen de leurs coordonnées rectangulaires 423 Des lignes droites dans l'espace. La position d'une droite dans l'espace est fixée par les équations de deux de ses projections sur les plans coordonnés 426 Équations d'une droite assujettie à passer par deux points donnés 428 Relation que doivent présenter les coefficients des équations de deux droites pour que ces droites se coupent 429 Expressions générales des angles d'une droite avec les axes des coordonnées 430 Relation remarquable entre les trois angles formés par une droite avec les axes des coordonnées 431 Angle de deux droites 432 Des plans dans l'espace. Équation générale du plan 434 Des traces d'un plan 436 Formes particulières de l'équation du plan 437 Équation d'un plan assujetti à passer par un point donné 438 Relations qui existent entre les coefficients de l'équation d'un plan et ceux des équations d'une droite, 1° pour que cette droite soit située dans le plan. 439 2° pour que la droite soit perpendiculaire au plan 440 Expression générale de la distance d'un point à un plan 442 Des plans parallèles 444 Angle de deux axes 445 Angles d'un plan avec les trois plans coordonnés 446 Intersection de deux plans 447 Transformation des coordonnées. Relation entre une droite et sa projection sur une autre droite 449 Formules générales de transformation des coordonnées rectangulaires en coordonnées obliques 451 Transformation d'un système d'axes rectangulaires en un autre système également rectangulaire 452 Les deux questions fondamentales de la géométrie algorithmique des trois dimensions § I. CONSTRUCTION DE L'ÉQUATION D'UNE SURFACE DONNÉE. Des surfaces réglées, ou produites par le mouvement d'une droite autour d'une ligne directrice 453 Déduction de l'équation générale des surfaces cylindriques 454 Équation générale des surfaces coniques 456 Des surfaces de révolution 458 Équations des ellipsoïdes allongés et aplatis 460 Équation du paraboloïde 460 Équations de l'hyperboloïde à deux nappes et de l'hyperboloïde à une seule nappe 461 Équation du tore 465 De l'intersection des surfaces. Moyen d'obtenir les équations de la ligne formée dans l'espace par une surface qui en coupe une autre 467 Intersection des surfaces courbes par un plan 468 Moyen d'obtenir l'équation de l'intersection dans son propre plan 469 Applications diverses 471 § II. CONSTRUCTION DES SURFACES DONT LES ÉQUATIONS SONT DONNÉES. Définitions. - Cordes d'une surface courbe. - Centre 474 Les plans diamétraux et principaux 476 Réduction d'une équation proposée à sa forme la plus simple 476 De l'équation générale du second degré à trois variables 478 Réduction de cette équation à deux formes simples, dont l'une représente toutes les surfaces du second ordre douées d'un centre et dont l'autre représente toutes les surfaces du même ordre dépourvues de centre 483 Des surfaces douées d'un centre 484 De l'ellipsoïde à trois axes 485 De l'hyperboloïde à une nappe 487 De l'hyperboloïde à deux nappes Surfaces cylindriques. - Elliptiques et hyperboliques 490 Cônes asymptotes des hyperboloïdes 491 Des surfaces dépourvues de centre 492 Du paraboloïde elliptique 494 Du paraboloïde hyperbolique 495 Cylindres paraboliques 497 TABLEAU DE TOUTES LES SURFACES DU SECOND ORDRE 497 Des diamètres conjugués 498 Relation entre les trois axes principaux et les trois diamètres conjugués quelconques d'une surface Des sections parallèles dans les surfaces du second ordre 506 Toutes les sections parallèles des surfaces du second ordre sont des lignes du second degré semblables et semblablement placées dans l'espace 509 Des sections circulaires dans les surfaces du second ordre 510 Des sections anti-parallèles des cônes et des cylindres obliques 512 Discussion des équations numériques du second degré 513 Procédés généraux pour reconnaître le genre et l'espèce de la surface courbe représentée par une équation numérique donnée, du second degré 520 DES SURFACES COURBES EN GÉNÉRAL 525 Surfaces de révolution. Équation aux différentielles partielles, donnant le moyen de reconnaître si une équation proposée appartient à une telle surface 526 Applications 529 Surfaces développables 531 Équation aux différentielles partielles des surfaces cylindriques 532 Équation aux différentielles partielles des surfaces coniques 535 Mode général de construction des surfaces développables 536 Équation aux différentielles partielles du second ordre de toutes les surfaces développables 539 Surfaces gauches. De toutes les surfaces du second ordre, l'hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique sont les seules surfaces gauches 539 Procédés particuliers pour reconnaître la nature et le mode de génération de ces surfaces par des droites 540 Équation générale des conoïdes droits 549 Le coin-concoïde 549 Équations aux différentielles partielles de tous les conoïdes droits 550 Des plans tangents aux surfaces courbes. Définition des plans tangents 551 Équation différentielle des plans tangents à une surface quelconque 552 Les plans tangents des surfaces du second ordre 552 Équation différentielle des normales d'une surface quelconque 554 De la courbure des surfaces et de leurs points singuliers. Manière d'estimer la courbure d'une surface en un de ses points 555 Définition des sections normales et obliques 555 Expressiosn générales des rayons de courbure des sections normales 564 Des sections principales et des rayons principaux 566 Relation générale entre les rayons principaux et les autres rayons de courbure 568 Théorème de Meusnier 569 DES OMBILICS. Moyens de reconnaître si une surface donnée possède des ombilics 571 Des lignes de courbure 572 Des courbes gauches 573 De l'intersection des surfaces courbes entre elles 573 Quadrature des surfaces courbes 578 Quadrature de la surface de la sphère 581 Quadrature de la surface du cône oblique 583 Cubature des corps terminés par des surfaces courbes 585 Cubature de l'ellipsoïde à trois axes 586 Déduction des parties distinctes et essentielles de la technie géométrique 588 TABLEAU DE LA TECHNIE DE LA SCIENCE DE L'ÉTENDUE 591 Méthode des indivisibles. Proposition fondamentale de cette méthode 592 Méthode centrobarique. Proposition fondamentale de cette méthode qui introduit dans les questions géométriques un élément qui leur est étranger 593 Méthode de transversales 593 Propositions fondamentales de cette méthode 594 Applications élémentaires 597 Méthode des rapports anharmoniques 598 Définitions 599 Proposition fondamentale 600 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Objet de cette partie de la technie géométrique 602 Méthode des projections 602 Notions préliminaires 602 Détermination des traces, sur les plans fixes, d'une droite dont on connaît les projections 604 Détermination des projections d'une droite assujettie à passer par un point donné et devant être parallèle à une droite donnée 605 Détermination de la longueur exacte d'une droite dont les projections sont données 606 Construction des angles que fait avec les deux plans fixes une droite donnée par ses projections 607 Détermination des traces d'un plan donné par les projections de trois de ses points 607 Les traces d'un plan étant données ainsi que la projection d'un point situé hors de ce plan, trouver les traces d'un plan parallèle au premier et qui passe par ce point 608 Détermination des angles que fait avec les plans fixes un plan donné par ses traces 609 Détermination de l'angle que forment, dans l'espace, les traces données d'un plan 610 Les traces d'un plan et les projections d'un point étant données, construire 1° les projections de la droite abaissée perpendiculairement du point sur le plan; 2° les projections du point de rencontre de la droite et du plan 610 Construction des traces d'un plan perpendiculaire à une droite donnée et passant par un point également donné 611 Construction de l'intersection de deux plans donnés par leurs traces 612 Construction de l'angle de deux plans qui se coupent et dont on connaît les traces 613 Construction de l'angle de deux droites données par leurs projections 614 Solution graphique de la réduction d'un angle au plan de l'horizon 615 Idée générale de la Méthode des échelles de pente ou des plans cotés 617 Conclusion des mathématiques pures 618 - Go to table of contents
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