Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale / Carl Neumann,...

Erster Abschnitt. Ueber die Definition der Function ex + iy

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Zweiter Ahschnitt. Ueber die Definition der Functionen sin (x + iy) und cos (x + iy)

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Dritter Abschnitt. Ueber die Definition von log (x + iy); die Vieldeutigkeit dieser Function

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Vierter Abschnitt. Ueber die Periodicitiit der Functionen ex + iy, sin (x + iy) und cos (x + iy)

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Fünfter Abschnitt. Die von einem eiuzigen Argument abhängende q -Function

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Sechster Abschnitt. Die von beliebig vielen Argumenten abhängende q -Function

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Erster Abschnitt, Ueber die räumliche Ausbreitung einer von einem einzigen Argumente abhängenden Function; Auffanssuug der Endlichkeit als eines nothwendigen Bestandtheiles der Stetigkeit

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Zweiter Abschnitt. Ueber die räumliche Ausbreitung, sowie über die Eindentigkeit und Stetigkeit einer von zwei Argumenten x und y abhängenden Function. Wiederum ist die Endlichkeit als ein nothwendiger Bestandtheil der Stetigkeit aufzufassen

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Dritter Abschnitt. Definition der elementarflilche. Betrachtung einer von x und y abhilngenden Function, welche innerhalb einer gegebenen Elementariläche überall eindeutig und stetig ist

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Vierter Abschnitt, Ueber Integrale, welche längs einer Curve hinerstreckt sind

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Filufter Abschnitt, Das Integral eines vollständigen Differentiales längs einer in sich zurücklaufenden Curve hin wird nicht immer, sondera nur unter gewissen Umständen gleich Null sein

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Erster Abschnitt. Ueber die positive Umlaufung einer Fläche oder eines Punctes, und über die Wahl des Coordinatensy-stemes

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Zweiter Abschnit. Allgemeine Eigenschaften einer jeden nicht von x und y, sondern aur von dem einer Argumente x + iy abhängenden Function

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Dritter Abschnitt. Untersuchung einer von x + iy abhängenden Function, die auf einer beliebig gegebenen Elementarftäche überral eindeutig und stetig ist. Reihenentwickelung einer soleheu Function innerhalb irgend eines auf jener Fläche abgegrenzten Kreises

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Vierter Abschnitt. Ueber die Unstetigkeits- und Nullpuncte einer Function. Die Unstetigkeitspuncte werden eingetheilt in solche, die polarer, und in solche, die nicht polarer Natur sind; die ersteren werden Pole genannt. (Das Bereich eines Punctes)

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Flinfter Abschnitt, Untersuchung einer von x + iy abhängeuden Function, welche auf einer Elementarfläche überall eindeutig, und mit Ausnahme eiuzelner Pole daselbst auch überall stetig ist. Ueber die Ordnungszahlen einer solchen Function

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Sechster Abschnitt. Ueber die Eindeutigkeit und Stetigkeit von Functionen, welche aus andern Functionen auf rationale Weise zusammengesetzt sind

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Siebenter Abschnitt. Reihenentwickelung einer von x + iy abhängenden Function, welche auf einer Kreisfläche überall cindeutig und mit Ausnahme einzelner Pole daselbst auch überall stetig ist

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Achter Abschnitt. Ueber die Summe Sämmtlicher Ordnungszahlen, welche eine von x + iy abhängende Function auf einer gegeben Elementariläche besitzi; vorausgesetzi; dass dieselhe auf jener Fläche überall eindeatig, und mit etwaiger Ausnahme einzelner Pole daselbst auch äberall stetig ist

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Neunter Abschnitt. Ueber den Werth eines gewissen Rand-integrales

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Erster Abschnitt. An Stelle der Horizontalehene, welche zur räumlichen Ausbreitung einer von x + iy abhängenden Function bisher gedient hat, wird eine mit dem Durchmesser 1 beschricbene Kugelfäche eingeführt. Ueber die Aenderungen, welchen die Function hinsichtiich ihrer Eindentigkeit und Stetigkeit hierbei ausgsetzt ist

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Zweiter Abschnitt. Einführung der Antipodenchene. Unter den verschiedenen Arten der räumlichen Ausbreitung einer Function wird die Ausbreitung auf der Kugelfäche in den Vordergrund gestellt; die Horizontal- und Antipodenebene sind namlich als zwei durch l'informung entstehende - übrigens gleichberechtigte - Nebenformen der Kugelfläche zu hetrachten

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Dritter Abschnitt. Eine von x + iy abhäugende Function, welche bel ihrer Ausbreitung auf der Kugelfläche äberall eindentig un stetig ist, wird jederzeit eine Constante sein

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Vierter Abschnitt. Eine von x + iy abhängende Function, welche bei ihrer Ausbreitung auf der Kugelfäche überall eindeutig, und mit Ausnahme einzelner Pole daselbst auch überall stetig ist, wird jederzeit eine rationale Function von x + iy sein

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Erster Abschnitt. Definition der Windungsfläche. Zwei Flächentheile, welche einander in einer Linie durelisetzen, sind als Flächentheile zu betrachten, zwischen welchen längs jener Linie kein Zusammenhang stattfindet

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Zweiter Abschnitt. Die Wurzelgrösse besitzt, falls man auter Z eine gauze rationale Function von x + iy versteht, in jedem Punet der Horizontalebene zwei Werthe. Abwickelung einer Reihe von Werthen, welche längs einer gegebenen Curve hin stetig auf einander folgen

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Dritter Abschnitt. Fortsetzung. - Aus dem Werthvorrath, welchen besitzt, wird ein die ganze Horizontalebene überdeckendes und überall eindeutiges Werthsystem abgeschieden

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Vierter Abschnit. Fortsetzuug. - Der ganze Werthvorrath, welchen überhaupt besitzt, wird gesondert in zwei Werthsysteme; diese beiden Systeme lassen sich auf stetige Weise zusammenschmelzen zu einem einzigen. Als Träger des letztern dient aber dann nicht mehr die gewöhuliche Horizontalehene, sondern eine gewisse horizontale Doppelfläche; diese wird eine Riemann'sche Fläche genannt

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Fünfter Abschnitt. Fortsetzung. - Die Riomann'sche chene Fläche kann durch Umformung in eine Riemann'sche Kugelfläche verwandelt werden. Die Uebergangslinien einer Riemann'schen Fläche sind verschiebbar

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Sechster Abschnitt. Sämmtliche. Werthe einer belichig gegebeneu algebraischen Function von x + iy lassen sich immer auf einer gewissen Riemann'schen Kugelfliiche in eindeutiger Weise ausbreiten, Allgemeine Bemerkangen über die Windungspuncte einer Riemann'schen Fläche

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Erster Abschnitt. Allgemeine Bemerkungen liber die stetige Umformung einer Fläche

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Zweiter Abschnitt. Ueber die stetigs Umformung eines Rechtecks in ein anderes Rechteck

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Dritter Abschnitt. Ueber die stetige Umformung einer Kegeifläche in eine andere Kegelfläche, insbesondere über die stetige Umformung einer Windungsfläche in eine Windungsfläche anderer Orduung

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Vierter Abschnitt. Ueber die stetige Umformung einer Windumgsfläche in eine Elementarfläche

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Fünfter Abschnitt, Jede Riemann'sche Kugelfläche lässt sich durch Zerschneidung and stetige l'informung auf ein System von lauter elementaren Flächenstücken reduciren

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Sechster Abschnitt. Fortsetzung. - Schliessliches Resultat der Untersuchung. (Der ursprüngliche und der natürliche Zustaud eines Flächenstiickes.

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Erster Abschnitt. Untersuchung einer von x + iy abhäugenden Function, welche auf irgend einem Theile einer Riemann'schen Kugelfläche überall eindeutig, und mit Ausnahme einzelner Pole daselbasi auch überall stetig ist. Die Ordnungszahlen einer solchen Function

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Zweiter Abschnitt. Die Ordnungszahl. welche iene Function in irgend einem Punet einer Riemann'schen Kugelfläche besitzt, steht in unmittelbarer Bezichung zu den im Bereiche des Punctes vorhandenen Functionswerthen

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Dritter Abschnitt. Ueber die Berechnung der Ordnungszahlen von Functionen, welche auf einer Riemann'schen Kugelfläche oder auch auf einer gewöhulichen einblättrigen Kugelfläche ausgebreitet sind

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Vierter Abschnitt. Ueber die Summe sämmtlicher Ordnungszahlen, welche eine Function innerhalb irgend eines Theiles einer Riemann'schen Kugelfläche hesitxt

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Fünfter Abschnitt. Ueber Functionen, die aus andern Functionen auf rationale Weise zusammeugesetxt sind

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Sechster Abschnitt. Es wird gezeigt, dass eine von x + iy abhängende Function, die auf einer Riemann'schen Kugelfläche überall eindeutig und stetig ist, eine Constante sein muss. Verallgemeinerung dieses Satzes

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Siebenter Abschnitt. Es wird gezeigt, dass eine von x + iy abhängende Function, die auf einer Riemann'schen Kugelfläche liberall eindeutig, und mit Ausnahme einzelner Pole daselbst auch überall stetig ist. eine algebraischt Function von x + iy sein muss

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Erster Abschnitt. Eintheilung Flächen in einfach zusammeuhängende und mehrfach zusammenhängende. Definition der Quereschnitte und

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Zweiter Abschnitt. Untersuchung eines beliebig gegebenen Flächensystemes; die Grandzahl eines solchen Systemes. Eintheilung der Mebrfach suzammeuhilungenden Flächen in zweifach, dreifach, vierfach, u. s. w. zusammenhängende

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Dritter Abschnitt. Ueber die bei einer N fach zusammenhängenden Flilche möglicherweise vorhaudene Anzahl von Randcurven. Wie vielfach eine Riemann'sche Kugerlfläche zusamenhängend ist, lässt sich in jedem gegeben Fall mit Hüife einer einfachen Regel leicht ermittein

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Vierter Abschnitt. Eine beliebig gegebene Fläche lilsst sich durch Ausführung geeigneter Schnitte oder Ströme jederzeit verwandeln in eine einfach zusammenhängende Fläche. Ueber die positive Umlaufung dieser letzeter Fläche

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Fünfter Abschnitt. Fortsetzung. - Anwendung auf diejenige Riemann'sche Kugelfläche, welche falls Z eine ganze rationale Function von x + iy vorstellt, crforderlich ist, um sämmtliche Werthe der Function auf eindeutige Weise auszubreiten

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Sechster Abschnitt. Untersuchung eines von x + iy abhängenden Differentiales, welches auf einem gegebenen Theil einer Riemann'scheu Kugelfläche überall eindeutig und stetig ist

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Siebenter Abschnitt. Fortsetzung. - Das auf einer Riemann'schen Kugelfläche von einem festen Punct a + ib nach einem beweglichen Punct x + iy hinerstreckte Integral Fdf kann, falls Fdf auf jener Fläche überall eindeutig und stetig ist. durch geeignete Beschränkung seiner Bahn in eine von x + iy abhängende Function verwandelt werden, die daselbst chenfalls überall eindeutig und stetig ist

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Erster Abschnitt. Angabe des Problemes, um welches es sich bel der Umkehrung eines elliptischen Integrales handelt. Um iür den Angriff des Problemes eine feste Basis zu gewinnen, werden gewisse Fundamentalconstanten, und ein damit zusammhängendes Fundamentales Flächengebiet eingeführt

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Zweiter Abschnitt. Der Betrachtung des elliptischen Integrales W (z) wird eine gewisse zwelblättrige Riemann'sche Kugelfläche R zu Grunde gelegt. Nachdem diese Fläche durch gecignete Schnite oder Ströme a, b in cine einfach zusammenhängende Fläche R' verwandelt ist, wird eine dom Integral W (z) conjugirte Function W(z) eingeführt, welche innerlhalb R' überall eindeutig und stetig ist

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Dritter Abschnitt. Fortsetzung. - Nähere Untersuchung der Function W (z). An Stelle des Integrales W (z) und der Function W (z) werden ein Integral w (z) und eine Function W (z) eingeführt, die von jenen nur durch einen constanten Factor verschieden sind

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Vierter Abschnitt. Untersuchung derjenigen Eigenschaften. welche eine von W (z) abhängende J Reihe, als Function von z betrachtet, besitzt

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Fäufter Abschnitt. Fortsetzung. - Es wird gezeigt, wie sich mit Hülfe der Q - Reihe die Umkehrung der Function W (z) bewerkstelligen, nämlich z darch W (z) ausdrücken lässt

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Sechster Abschnitt. Durch Uebertragung des im letzten Abschnitte erhaltenen Resultates auf das Integral w (z) und auf das arsprünglich vorgelegte Integral W (z) ergiebt sich schliesslich die Lösung des gestellten Problemes

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Erster Abschnitt. Bei Umkehrung der Abel'schen Integrale W 1 W 2,… W s sind zwei Probleme zu unterscheiden, nümlich das Riemann'sche und das Jacobi'sche Problem; von diesen ist das erstere eigentlich nur ein Specialfall des letztern.

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Zweiter Abschnitt. Den primären Integralen W 1, W 2,… W s werden die mit die mit ihnen auf lineäre Weise verbundenen secundären Integrale w 1, w 2,… w s, zur Seite gestellt. Die in diesen lineärren Verbindungen vorhandenen constanten Coefficienten G bleiben vorläufig unbestimmt

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Dritter Abschnitt. Um für den Angriff der Probleme eine feste Basis zu gewinnen, werden gewisse Constanten, nämlich die Fundamentalwerthe der primären und secundären Integrale eingeführt; gleichzeitig auch ein gewisses damit zusammehängendes fundamentales Flächengebiet

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Vierter Abschnitt. Untersuchung zweier Integrale W , W ' die entweder geradezu zur Zahl der primären und secandären Integrale gehören, oder von denselben doch auf lineäre Weise abhängen. Als Gundlage der Untersuchung dient eine gewisse Riemann'sche Kugelfläche R Nachdem diese durch geignete Schnitte oder Ströine a, b, c in eine einfach zusamenhängende Fläche R' verwandelt ist, werden zwei den Integralen W , W ' conjugirte Functionen W, W' eingeführt, die innerhalb Â ' überall eindeutig und stetig siud

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Fünfter Abschnitt. Fortsetzung. - Sind die Fundamentalwerthe der Integrale W , W ' bekannt, so lassen sich die constanten Werthdifferenzen, mit welchen die Functionen, W, W' in den Strömen a, b, c behaftet sind, augenblicklich berechnen

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Sechster Abschnitt. Fortsetzung. - Zwischen den Werthdifferenzen, mit welchen die eindentigen Functionen W, W' in den Strömen a, b, c behaftet sind, finden jederzeit gewisse Relationen statt

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Sichenter Abschnitt. Die bei Bildung der secundären Integrale w 1, w 2…, w s noch unbestimmt gelassenen Coefficienten G werden definitiv festgesetzt; und zwar soleher Weise, dass die mit diesen Integralen conjugirten eideutigen Functionen W1, W2… Ws, hinsichtlich ihrer in den Strömen a, b, c vorhandenen Werthdifferenzen gewissen einfachen Anforderungen Genüge leisten

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Erster Abshnitt. Die Functionen W1, W2,... W werden in Verbindung mit willkührlichen Constanten zu Argumenten einer stach unendlichen q . Reihe genommen. Der so entstchende Ausdruck Q (W1 - g1, W ist dann eine von: abhängende. Function, welche, ebenso wie W1, W2, ... selber, innerhalb der Fläche R' überall cindeuting und stetig bleibt

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Zweiter Abschnitt. Mit Hälfe der s unendlichen Q Reihe lässt sich aus den Functionen, W1, W2,...W ein Austruck aufbauen, der von: auf algebraische Weise abhängig ist

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Dritter Abschnitt. Um die gegenseitige Abhängigkeit, welche zwischen den in der Function J W1 - g1, W2 - g2,...Ws - Wsenthaltenen willkührlichen Constanten g1, g... gs und zwischen den dieser Function zugehörigen Nullpuncten Stattifindet, zu ermitteln, wird zunächst eine gewisse auxiliäre Function j gebildet

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Vierter Abschnitt. Fortsetzung. - Mit Benutzung der Function j ergeben sich gewisse s Gleichuugen als Ausdruck für die zwischen den Constanten g1, g2, ... gs und den Nullpuncten z1, z2, ... zs vorhaudene Abhäungigkeit

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Fünfter Abschnitt. Fortsetzung. - Berechnung gewisser constanter Intregralwerthe, mit welchen die gefundenen s Gleichungen behaftet sind

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Sechster Abschnitt. Die in der Function J (W1 - g1, W2 - g2... Ws -gs) enthaltenen willkührlichen Constanten g1, g2, ... gs lassen sich jederzeit der Art bestimmen, dass die Function in s beliebig gegebenen Puncten z1, z2, ... zs Null wird

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Siebenter Abschnitt. Allgemeine Bemerkungen über die zwischen den willkührllichen Constanten g1, g2, ... gs und zwischen den Nullpuncten z1, z2, ... zs gefundenen s Gleichungen

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Erster Abschnitt. Es wird gezeigt, wie sich mit Hülfe der s fach unendlichen J - Reihe die Umkehrung der Functionen W1(z),W2(z),... W3(z) hewerkstelligen, nämlich z durch W1(z),W2(z),...Ws(z) ausdrücken lässt

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Zweiter Ahschnitt. Fortselzung. - Die im vorhergehenden Abschnitt ausgeführte Umkehrung kann veraligemeinert werden, indem man an Stelle eines Werthes der Variablen: mehrere, nämlich s Werthe derselben ins Spiel bringt

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Dritter Abschnitt. Die in Bezug auf die Functionen W1W2... Ws erhaltenen Resultate lassen sich übertragen auf die mit denselben conjugirten secundären Integrale w 1,w 2,...s; man gelangt alsdann zur Umkehrung dieser Integrale

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Vierter Abschnitt. Schliesslich ergiebt sich die Umkehrung der primären Integrale W 1, W 2,... W s Zusammenstellung sämntlicher Operationen, die zur Auslösung des Jacobischen Umkehrungsproblemes erforderlich sind

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