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13-15] DE NÛMËRIâ QUI SUNT AGGREGATA DUORUM QUADRATORUM
SCHOLION
13. Regulae logicae non permittunt, ut haec propositio ita convertatur,
ut, quoties alter factor q sit summa duorum quadratorum, etiam alter factor
p pronunciari possit vel summa duorum quadratorum, si est primus, vel
productum ex numeris primis, qui singuli sint summae duorum quadratorum.
De hoc ipso enim nondum constat, utrum productum ex aliquot numeris
primis, qui ipsi non sint summae duorum quadratorum, nequeat esse summa
duorum quadratorum; quin potius contrario iam habemus casum, quo pro-
ductum 45 = 3 • 3 • 5 est summa duorum quadratorum, cum tamen eius factores
3 et 3 non sint huius indolis. Verum propositio corollarii ultimi ita con-
verti potest, ut a negatione consequentis recte ad negationem antecedentis
concludatur, quam conversionem utpote maximi momenti in hac propositione
complectar.
PROPOSITIO 2
14. Si productum pq sit summa duorum quadratorum, eius factor autem q
non sit summa duorum quadratorum, tum alter factor p, si sit numerus primus,
non erit summa duorum quadratorum, sin autem non sit primus, saltem factorem
certe habebit primum, qui non sit summa duorum quadratorum.
DEMONSTRATIO
Cum alter factor p sit vel numerus primus vel compositus, utrumque
casum seorsim perpendere convenit. Sit primo p numerus primus; cum igitur,
si esset summa duorum quadratorum, quoque alter factor q foret summa
duorum quadratorum, quod cum hypothesi adversetur, sequitur factorem p
non esse summam duorum quadratorum. Sit secundo p numerus compositus
et ex praecedentibus liquet, si omnes eius factores primi essent summae
duorum quadratorum, etiam alterum factorem q eiusdem fore indolis. Quare
cum per hypothesin q non sit summa duorum quadratorum, sequitur non
omnes factores ipsius p esse summas duorum quadratorum. Q. E. D.
COROLLARIUM 1
15. Si igitur productum pq sit summa duorum quadratorum, eius tamen
alter factor q in duo quadrata sit irresolubilis, alter factor p vel ipse non
LEONHARDI Euleki Opera omnia 12 Commentationes arithmeticae 39
SCHOLION
13. Regulae logicae non permittunt, ut haec propositio ita convertatur,
ut, quoties alter factor q sit summa duorum quadratorum, etiam alter factor
p pronunciari possit vel summa duorum quadratorum, si est primus, vel
productum ex numeris primis, qui singuli sint summae duorum quadratorum.
De hoc ipso enim nondum constat, utrum productum ex aliquot numeris
primis, qui ipsi non sint summae duorum quadratorum, nequeat esse summa
duorum quadratorum; quin potius contrario iam habemus casum, quo pro-
ductum 45 = 3 • 3 • 5 est summa duorum quadratorum, cum tamen eius factores
3 et 3 non sint huius indolis. Verum propositio corollarii ultimi ita con-
verti potest, ut a negatione consequentis recte ad negationem antecedentis
concludatur, quam conversionem utpote maximi momenti in hac propositione
complectar.
PROPOSITIO 2
14. Si productum pq sit summa duorum quadratorum, eius factor autem q
non sit summa duorum quadratorum, tum alter factor p, si sit numerus primus,
non erit summa duorum quadratorum, sin autem non sit primus, saltem factorem
certe habebit primum, qui non sit summa duorum quadratorum.
DEMONSTRATIO
Cum alter factor p sit vel numerus primus vel compositus, utrumque
casum seorsim perpendere convenit. Sit primo p numerus primus; cum igitur,
si esset summa duorum quadratorum, quoque alter factor q foret summa
duorum quadratorum, quod cum hypothesi adversetur, sequitur factorem p
non esse summam duorum quadratorum. Sit secundo p numerus compositus
et ex praecedentibus liquet, si omnes eius factores primi essent summae
duorum quadratorum, etiam alterum factorem q eiusdem fore indolis. Quare
cum per hypothesin q non sit summa duorum quadratorum, sequitur non
omnes factores ipsius p esse summas duorum quadratorum. Q. E. D.
COROLLARIUM 1
15. Si igitur productum pq sit summa duorum quadratorum, eius tamen
alter factor q in duo quadrata sit irresolubilis, alter factor p vel ipse non
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